力电混合系统的拉格朗日方程

成 实 张雅男 雷 勇

(南京信息工程大学物理与光电工程学院， 江苏 南京 210044)

物理学的发展史似乎总是遵循着“将分散的规律统一到一个整体的理论系统中，使各个规律在系统中处于恰当的位置和层次[1]”这样的思路。现今工程技术领域发展极其迅猛，它是为解决生产生活中的具体问题而发展起来的；而物理学的目的是寻找现象和问题背后的普遍规律，将它们纳入一个统一的框架中去。本文描述了力学量和电学元件在性质上的相似性，系统地建立起其对应关系；进而对包含电阻，电容和电感的力电混合系统，构造出普遍方程，最终试图解释这种相似性的物理本质，给出普遍方程的实用价值。

在力学中，物体倾向保持静止或匀速直线运动状态的固有属性称为惯性。惯性表现为物体对外界的反抗：物体以某个速度运动，就会保持这个速度而不易改变，它的大小用惯性质量衡量；同样，电学中有一种电学元件——电感器，其特性为：当电流通过电感时，就倾向于保持不变，这与惯性非常相似[2]。

图1 单自由度阻尼谐振子

为了更好地说明力学系统的惯性与电学系统的惯性之间的关系，我们用图1展示的单自由度阻尼谐振子强迫振动系统[3]进行分析。质量为M的物体上端用一个弹性系数为k的弹簧连接到天花板上，下端通过细棒连有一活塞(二者质量均可忽略)。活塞浸在装有粘性液体的容器中，容器置于地面。设外界施加给物块一个作用力F(t)，物块受到与弹簧的形变成正比的弹力Fk=kx；与活塞的速度成正比的阻尼力FD=DV(活塞与容器壁间发生粘性摩擦，阻尼力与速度成正比)以及外力F(t)。在这3个力的共同作用下，物块做往复运动。取弹簧原长处为坐标原点，建立运动学方程

(1)

式中，x为物体的位移及弹簧的形变;D和V分别为活塞粘性摩擦的阻尼系数和速度。

用于分析比较的电学系统如图2、图3所示，分别为串联和并联LRC电路。L、R、C分别表示电路中的线圈的电感、电阻和电容器的电容。外加电压为U(t)，根据基尔霍夫电路定律,依次列出两个电路的电路方程

图2 LRC串联电路

图3 LRC并联电路

I为串联电路(图2)中的电流，Q为通过回路的电荷；I(t)和φ分别为并联电路(图3)中的干路电流和电感线圈的磁通。通过对比可以看出，式(1)、(2)、(3)在数学形式上是相似的。

上述3个方程分别描述的是运动学系统和电路系统，但在数学形式上是完全等价的。它们都对应于同一个二阶线性常系数微分方程，而求解方程的数学过程并不依赖于方程所表示的物理系统。因此，同一类型数学方程描述的自然可以是不同的物理系统。

表1给出的惯性质量、阻尼系数和弹性柔度是平动的力学系统，在转动力学系统中也可以找到相似的对应关系(如表2所示)。可以证明，按表2的对应关系，也可写出转动力学系统相应物理量的表达式。由此我们得到结论：对于一个力学系统，可以用一个串联或并联电路模拟其规律；而一个电学系统，可以构造一个平动或转动力学系统进行仿真，差异只是在方程中相同位置处所用的物理符号。

表1 平动力学系统与电学系统物理量对应关系

表2 平动力学系统与转动力学系统物理量对应关系

我们试图从分析力学的角度，把静态平衡条件考虑到牛顿第二定律中去，形式上稍作改变，便可得到达朗贝尔表达式

FM+F惯+FD+Fλ=0

(4)

采用分析力学方法去处理图4所示LRC串并联电路[5]，根据表1的对应关系，取C1存储的电荷Q1和L2的磁通φ2作为广义坐标，则

动能:

(5)

势能：

(6)

图4 LRC串并联电路

它的拉格朗日函数为

(7)

定义耗散函数

(8)

(9)

(10)

化简移项得

式(11)、(12)正是电路中的基尔霍夫定律。对比式(4)，可以将基尔霍夫电路定律看成为力学中达朗贝尔原理的变形。诚然，上述力学电路系统的相互模拟只以简单的系统为例，但可以证明，复杂系统也可以由这种简单系统复合而成。

力学元件的机械运动服从动力学基本规律，电磁元件的电磁运动则遵循电磁学规律。电磁运动可产生作用力，而机械运动可影响电荷和磁场的分布。两个系统的相似性并不仅仅因为式(1)、(2)、(3)在数学结构上的相似，背后的物理原因在于两类运动都服从能量转换的普遍规律，从能量的观点出发，可以联合描述机械运动的拉格朗日方程与描述电磁运动的麦克斯韦方程，建立力―电系统的统一方程[6]。

(13)

其中，

式中，ik为电路中电流；ψe定义为电磁耗散函数。

(19)

因为能量守恒，输入混合系统的电功率必定等于电磁场能量的变化率，电阻耗散功率以及电磁力所做的机械功率，据此得到

(20)

(21)

(22)

总耗散函数ψ则为机械耗散函数和电磁耗散函数的和，定义混合系统的广义拉格朗日函数

(23)

则式(22)可以写成

(24)

至此，便构造出了一个统一描述力学-电磁学框架的方程。

日常生活中，动力学现象随处可见，因此，人们会本能地将物理现象的本质归结为背后的动力学原因, 而在经典物理学的范畴里，也确能给能量转化与守恒一个较为全面的动力学解释。本文式(24)所给出的力学-电磁学方程，仅仅从能量方面讨论，并没有触及经典理论描述下的动力学本质。我们试图将这种相似性推广到整个电动力学领域，“更深层次”地挖掘内在的联系。

力学研究的基本对象是质点，电磁学研究的基本对象则是运动的电荷；力学的基本定律无须赘述，而电磁学中处于同样地位的麦克斯韦方程组却颇为抽象。虽然辅以适当的边界条件后，麦克斯韦方程组的4个矢量式可以包含经典电动力学的全部内容，但却与我们熟悉的以力学形式表述的动力学定律大相径庭，根据前文推导可以得到统一描述力学-电磁学框架的方程，那是否存在一种经典电动力学的完备动力学描述呢?

答案是肯定的。任一电荷在磁场及电场中运动，受力可表示为F=q(E+×B)；更重要的，来自所有其他电荷产生的场力都可以由式中的矢量E和B叠加而成，即电磁场满足叠加原理。既然一切电磁现象从微观上都是众多电荷的运动产生的，如果清楚一个运动电荷产生的E和B的普遍规律，就可以根据叠加原理求出电动力学所研究的任意物理量了。费曼物理学讲义给出了由单个电荷产生的电场和磁场的规律[7]：

(25)

上式电场强度计算式后两项是因为要考虑延时效应而对库仑定律的修正。上式说明以单个电荷来描述电场和磁场是非常复杂的。而宏观的电场和磁场又是由不计其数的运动电荷叠加而成，可以设想，用分析力学来描述基于各电荷间的电场和磁场力，从而建立整个电动力学，这样的思路对于初学者来说，并不容易理解。

本文试图从力学系统中质点和电磁学系统中电荷分别满足的动力学定律中探讨本文所述两者的相似性似乎有点困难，但我们尝试给出一种解释: 对于一个系统，重要的是系统如何响应外界给出的激励。由于电阻两端电压与通过的电流成正比，因此它是一种线性关系；同样由于胡克定律的存在，振动的弹簧也是如此。用系统分析的观点来看，一个系统为线性的必要条件是叠加原理有效：多个激励给出的总效果可以通过单个激励效果的和得到。力的作用当然满足叠加原理，正如前文提到的，电磁场的作用也满足叠加原理。我们猜测这正是这种系统对外界激励的“线性响应”造成了这种相似性，也正是如此，才得以构造出统一描述力学-电磁学系统的拉格朗日方程。

[1] 程九标. 大综合与物理学中心思想的形成及演进[J].物理与工程，2008，18(6)：46-51. CHENG Jiubiao.The formation and evolution of the theore-

tieal syntheses and central thought of physics[J]. Physics and Engineering, 2008, 18(6): 46-51.(in Chinese)[2] RICHARD P. FEYNMAN、ROBERT B. LeightonMatthew Sands. 费曼物理学讲义第1卷[M]. 郑永令，华宏鸣, 译. 上海：上海科学技术出版社，2005:137-139.

[3] 李辉宇. 从集中参数系统力学—电学类比看力学的发展方向[J].扬州大学学报自然科学版，1986(2)：118-120. LI Huiyu. From the analogy view of lumped parameter system mechanics and electrics to see the development direction of mechanics[J].Journal of Yangzhou University Natural Science Edition, 1986(2)：118-120.(in Chinese)

[4] 毛定邦. 电学系统和分析力学[J].大学物理，1990,9(6)：16-18. MAO Dingbang. Electrical systems and analytical mechanics[J].College Physics，1990, 9(6)：16-18. (in Chinese)

[5] 郑钧. 线性系统分析[M]. 北京：科学出版社，1978：27-33.

[6] 刘延柱. 高等动力学[M]. 北京：高等教育出版社，2003：91-107.

[7] RICHARD P. FEYNMAN、ROBERT B. LeightonMatthew Sands. 费曼物理学讲义第2卷[M].郑永令，华宏鸣, 译. 上海：上海科学技术出版社，2004:573-581