热水喷泉现象及其理论研究

李 强 覃志远 陈 聪 熊佳芬 冯公警

(南京航空航天大学 1理学院， 2航天学院,江苏 南京 211100)

1 提出问题

本文的研究内容是来源于2016年IYPT(International Youth Physics Tournament,国际青年物理学家竞赛)的一道赛题: Problem No.7 “Hot Water fountain” Partially fill a Mohr pipette with hot water. Cover the top of the pipette with your thumb. Turn the tip upwards and observe the fountain exiting the tip. Investigate the parameters describing the height of the fountain, and optimize them to get the maximum height. (用热水部分装填一个莫尔吸量管,用大拇指盖住其上端并倒置,可观察到从尖部喷出的热水喷泉。请研究决定热水的最大喷射高度的参量,并改变它们以获得最大的高度。)[1]

热水喷泉现象的研究在地热喷泉的开发利用、喷水推进技术研究等方面有潜在应用价值。但到目前为止,国内外对该现象定量研究的报道较少。刘建晓等人研究了莫尔吸量管中吸入部分热水产生的喷泉现象,应用伯努利方程得到最大喷射高度的表达式,讨论了吸水高度、平衡温度及喷嘴孔径对最大喷射高度的影响。他们通过多项式拟合求得平衡温度与吸水高度的关系式[2]。付伟娟等同样应用伯努利方程并具体考虑莫尔管管口形状建立理论模型[6]。由于热水喷泉现象属于一种有多变量因素(如:热水温度、吸水高度以及莫尔管规格等)综合作用的非定常流动,而伯努利方程只适用于定常流体的运动问题,因此直接应用伯努利方程处理该现象过于理想化。为此,我们从喷水过程中的热水量守恒以及动能定理出发，建立了一个既适用于定常流动又适用于非定常流动的更普遍的理论模型。在此基础上,通过设计不同实验参量,从实验上对上述模型进行了验证。结果表明:实验测量结果与理论模型的数值计算结果符合较好；热水温度、吸水高度以及莫尔管规格是影响最大喷射高度的主要因素。

2 实验研究与分析

2.1 实验装置

实验中用到的器材装置有:铁架台、量尺、温度计以及莫尔管和高速摄像机。如图1所示。

图1 实验装置图

莫尔管是一种有上、下两个端口的细长玻璃仪器,常用于测量液体体积。管身上的刻度线用于标记液体体积大小,两个端口一大一小,便于液体进出。

2.2 实验方法

为了和后面理论建模与分析保持一致,对实验中可能出现的物理量采用如下定义:H为莫尔管总长度;m为口径比,即莫尔管较细端口面积和较粗端口面积的比值；S2为莫尔管细口的面积;r为莫尔管粗口的半径;h0为实验过程吸入的热水高度;hmax为喷水过程中水柱达到的最大高度。

2.3 实验过程

实验准备时,先将莫尔管较小的管口朝下竖直浸在热水池中,利用洗耳球从其上部的大管口吸气,可使其下部的小管口能从热水池中吸入一定量的热水,随后用橡胶塞堵住大管口。实验开始时,用旋转夹将装好热水的莫尔管小管口竖直朝下采用可旋转夹持器固定在铁架台上,随后将莫尔管迅速转动180°(如图2所示),随即热水柱从较小管口竖直向上喷出。为方便测量喷射高度,我们在热水中加入了少量黑色墨水。

图2 莫尔管夹持图

2.4 实验结果

(1) 实验时,首先使用高速摄像机观察了从管口喷出去的热水的形状,发现喷出去的热水呈完整的水柱状。

(2) 在一定条件下实验，观察到从莫尔管中喷出的水柱高度随时间先从零开始增加达到一个最大值后减小。实验结果如图3所示。

图3 喷射高度随时间变化实验结果(吸水高度为0.17m,热水温度为73℃,环境温度为19℃)

(3)其他变量(热水温度,莫尔管规格,环境温度)相同，研究吸水高度对最大喷射高度的影响时,实验得到的数据如表1、表2所示。

表1 最大喷射高度hmax随吸水高度h0变化的实验数据

表2 最大喷射高度hmax随吸水高度h0变化的实验数据

由表1和表2的实验数据可看出,在两种不同的环境温度下,莫尔管中热水喷射的最大高度随着初始时莫尔管中吸水高度逐渐增加都经历了先减小后增大的变化。

(4) 其他变量(吸水高度,莫尔管规格,环境温度)相同,考虑热水温度对最大喷射高度的影响时,实验得到的数据如表3所示。

表3 最大喷射高度hmax随热水温度T变化的实验数据

3 理论建模与分析

为了解释上述实验现象及结果,对喷射过程进行了如下的理论分析和建模。

图4 喷水装置示意图

此过程可看作是等容过程,因此有

(1)

(2)

其中,c与热水-环境温差有关,还与初始时加入的热水量以及管子规格有关。

将式(2)代入式(1),得

(3)

设喷水过程开始时刻t0=0，t时刻,各部分热水柱长度分别为h(t),h1(t),喷水过程中任意时刻下部空气压强为p(t),体积为V(t)=πr2[H-h1(t)]。

由于热水可认为不可压缩,因此水的总体积不变

在喷射过程中,可认为管内空气经历绝热过程:

(6)

在喷射过程中的t～t+dt时间段内,管中空气柱的压强和外界大气压以及水柱的重力做的总

功等于热水柱总动能的增加

(7)

将式(6)代入并在等式两边同时除以dt,得

(8)

式(8)即为描述热水喷射高度随时间变化的微分方程式。此式很难求出解析解,但可做数值求解,以便与实验结果进行比较。

4 实验与理论比较

算得一系列c值,见表4。

表4 不同情况下的c值

4.1 喷射高度随时间变化

考虑吸水高度为0.17m,热水温度为73℃,环境温度为19℃的情况

根据式(8)代入参数做数值计算得出的喷射高度随时间变化如图4所示。

图5 喷射高度随时间变化理论结果(吸水高度为0.17m,热水温度为73℃,环境温度为19℃)

由图4可以看出,喷射高度先从零开始增加达到一个最大值后逐渐减小。这与实验结果中(2)相符。

4.2 最大喷射高度与吸水高度的关系

考虑环境温度为19℃，热水温度为83℃的情况

由图6可得出,在两种不同的环境温度下,莫尔管中热水喷射的最大高度随着初始时莫尔管中吸水高度逐渐增加都经历了先减小后增大的变化。这是由于一方面当加入热水较少时,其自身重力越小,从而对莫尔管内空气膨胀的阻力影响较小,最大喷射高度就较高；另一方面,热水越多,空气在预热结束后温度越高,压强越大,从而对外做功能力越强,这也可以从c值表4得到反映。

图6 不同吸水高度对最大喷射高度的影响(环境温度:19℃,热水温度:83℃)

从图6可以看出,最大喷射高度随初始时吸水高度变化很明显,说明吸水高度是一个重要的影响因素。

4.3 最大喷射高度与热水温度的关系

考虑初始时莫尔管吸水高度为0.12m,环境温度为19℃的情况:

由图7可得出,最大喷射高度随着热水温度的升高快速地增加,这是由于热水温度越高,管内空气被充分预热完成后的温度就越高,从而压强越大,对外做功的能力就越强,水柱最大喷射高度越高。

图7 不同热水温度对最大喷射高度的影响(吸水高度:0.12m,环境温度:19℃)

由图7可见,最大喷射高度随热水温度增加有明显的变化,因此热水温度也是一个重要的影响因素。

5 结论

本文以莫尔管为基本实验装置,采用控制变量法,通过对一系列实验数据的测量,探讨了热水喷泉现象中各种因素对水柱最大喷射高度的影响,得到了最大喷射高度随热水温度、吸水高度等参量的变化规律。在此基础上,基于喷水过程中的动能定理,建立了一个最大喷射高度与相关量关系的理论模型,数值计算了上述实验条件下的最大喷射高度,并与实验数据进行比较,结果表明:实验测量结果与理论模型的计算结果符合得较好。该研究进一步揭示了热水喷泉现象中的运动机理,研究结果对开展热水喷泉的相关应用有一定的指导作用。

[1] IYPT. 2016年IYPT竞赛参考文献[EB/OL]http://archive.iypt.org/problems. IYPT. 2016 IYPT competition reference[EB/OL]http://archive.iypt.org/problems.

[2] 刘建晓,郑永春,史宫会，等.热水喷泉现象的理论研究[J].物理实验 2016,36(4):23-26. LIU JianXiao, ZHENG Yongchun, SHI Gonghui, et al. Research on the hot water fountain[J]. Physical Experiment, 2016, 36(4): 23-26. (in Chinese)

[3] 植田辰洋,姚普明,何乃翔，等.气、液二相流的流动和传热[J].天津商学院学报,1985(1):1-18. (in Chinese) ZHI Tianchenyang, YAO Puming, He Naixiang, et al. Flow and heat transfer in gas-liquid two-phase flow[J]. Journal of Tianjin University of Commerce, 1985(1): 1-18. (in Chinese)

[4] 赵近芳,王登龙.大学物理简明教程[M].2版.北京:北京邮电大学出版社,2013:67-76.

[5] 李复.可压缩流体的伯努利方程[J].大学物理,2008,27(8):15-18. LI Fu. Bernoulli’s equation for compressible flow[J]. College Physics. 2008, 27(8): 15-18. (in Chinese)

[6] 付伟娟,聂云汉,房振全，等.莫尔吸量管热水喷泉现象的研究[J].物理实验 2017(6):37-6. FU Weijuan, NIE Yuanhan, FANG Zhenquan, et al. Study on the water fountain pipette moire phenomenon[J]. Physical Experiment, 2017(6): 37-6. (in Chinese)