“折线型”函数最值的一般求法

安徽省灵璧县第一中学

朱 勇 (邮编：234200)

于是，结合文[1]中“折线型”函数的性质及其推论我们得到：

推论1(即文[1]中的推论4)当ki>0(i=1,2,…,n)时，“折线型”函数的最小值在折线段的斜率的绝对值最小时对应的折线段的某个端点处取得．若绝对值最小的斜率为负数，则在该折线段的右端点处取得；若绝对值最小的斜率为非负数，则在该折线段的左端点处取得．

例1(北师大版高中数学必修1第121页问题3)求函数f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|(0

解析ki=1(i=1,2,…,6)，由结论1的推论2知

当x∈[c,d]时，函数f(x)取得最小值，

故[f(x)]min=f(c)=|c|+|c-b|+|c-c|+|c-d|+|c-e|+|c-f|

=d+e+f-c-b．

例2求函数f(x)=-2|x+3|+7|x+1|-3|x-1|+5|x-2|的最值．

为方便，将各折线段所属区间及相应的斜率列表如下：

ki-27-35x(-∞,-3)(-3,-1)(-1,1)(1,2)(2,+∞)k--+-+

计算f(-1)=5，f(2)=8，

故当x=-1时，[f(x)]min=f(-1)=5，函数f(x)无最大值．

注表格中第三行的k表示相应区间内折线段的斜率值的符号．

小结求“折线型”函数最值的一般步骤：

(2)列表(3行n+2列)，填写ki的值及各区间，并分别计算k的值．

1)ki的填写顺序务必按ai从小到大相应的ki为序，且从第二个区间的上方位置开始填写，即第一个位置空缺，以方便计算k值；

2)计算各区间内k值的简便方法：在表格中将相应区间右侧的竖线视为分隔线，分别计算分隔线两侧所有数之和，再作差即得k值．如例2中计算区间(-1,1)内相应的k值时，将ki的值分隔为“-2,7|-3,5”，则k=[(-2)+7]-[(-3)+5]=3>0．

(3)计算可能成为最值点的函数值并比较其大小，确定函数的最值．

至此，我们即得求“折线型”函数最值的一般方法，其过程类似于利用导数求函数的最值．

例3已知函数f(x)=2|x+4|-3|x+2|+a|x-1|+|x-2|-|x-3|的最大值为4，求a的值．

计算f(-4)=-2，f(3)=4，则[f(x)]max=f(3)=4，满足条件．

ki2-3a1-1x(-∞,-4)(-4,-2)(-2,1)(1,2)(2,3)(3,+∞)k+5-a(+)-1-a(非正数)a-1(-)a+1(非负数)-

ki2-3a1-1x(-∞,-4)(-4,-2)(-2,1)(1,2)(2,3)(3,+∞)k+5-a(+)-1-a(+)a-1(-)a+1(-)-

1 杨智慧．有趣的“折线型”函数[J]．中学数学教学，2017(4)：37-39