对一道高考试题的解法探究

安徽省枞阳县宏实中学

江保兵 (邮编：246700)

1 试题和它的解法

图1

解法1如图1所示，建立平面直角坐标系.设

A(0,0),B(0,-1),C(-2,-1),D(-2,0),P(x,y).

故λ+μ的最大值为3.

图2

评析由于向量同时具有几何与代数的特性，如果在方便建立坐标系的情况下用坐标的方法处理问题，具有构思简单，操作方便的优点.但是用代数方法去处理几何问题，用运算代替思维，忽略几何图形的特性，总觉得有一些缺憾.

2 解法2的来龙去脉

解法2使我们既惊叹，又困惑，既惊叹于方法的简洁，又困惑于解法的来龙去脉.数学教育家波利亚说过：“有些题目的解答就像魔术师帽子里的兔子，不知道从哪里冒出来的，这些想法是如何想到的？揭示了这类问题的本质，我们就能站在更高位置来看待这个问题，问题就迎刃而解.”事实上在解法2中，运用了我们非常熟悉的平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.但在平时的考查，更多的时候以考查它的推论为主，我们把它称之为平面向量共线定理.

图3

在图3中，如果点C摆脱直线AB的束缚，转而在平面PAB上运动，则有下列结论，我们把它称之为平面向量等高线定理.

图4

推论(1)当点C与点P在直线AB异侧时，λ+μ=k>1；(2) 当点C与点P在直线AB同侧时，λ+μ=k<1.

3 等高线在解题中的应用

图5

图6

1 江保兵.平面向量的共线定理及其推论[J].中学数学研究(上半月)，2014(2)

2 江保兵.一类含绝对值函数最值问题解法探究[J].中学数学研究(上半月)，2017(4)

3 江保兵.一道向量试题的探究和思考[J].中学数学教学，2015(5)

4 波利亚.怎样解题[M].上海：上海教育出版社，2001