Guggenheimer不等式的加权推广

浙江省杭州市电子信息职业学校

曾善鹏 (邮编：638400)

浙江省杭州高级中学

费红亮 (邮编：230001)

1 问题背景

1967年，H.W.Guggenheimer建立了如下不等式，我们称之为Guggenheimer不等式.

定理A[1]P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，则有

PA+PB+PC

1971年，M.S.Klamkin得到上述不等式二次形式，我们称之为Klamkin不等式.

定理B[2]P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，则有

PA2+PB2+PC2

实际上，可以得到Guggenheimer不等式和klamkin不等式的加强形式.

定理C[3-4]P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

PA+PB+PC

定理D[4]P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

PA2+PB2+PC2

2 主要定理

本文将对定理C和定理D中两个不等式进行加权推广得到如下两个不等式.

定理1P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，x、y、z为任意正实数，若a≥b≥c，则有

xPA+yPB+zPC

在定理1中取x=a、y=b、z=c,则可以得到如下推论

推论1.1P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

aPA+bPB+cPC<2ab.

定理2P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，x、y、z为任意正实数，若a≥b≥c，则有

xPA2+yPB2+zPC2

在定理2中取x=a、y=b、z=c,则可以得到如下推论

推论2.1P是△ABC中任意一点，a、b、c是三角形三边，若a≥b≥c，则有

aPA2+bPB2+cPC2

3 定理的证明

定理1证明过P点作一条直线平行于BC分别交AB、AC于D、E两点，过P点作一条直线平行于AC分别交AB、BC于F、G两点，过P点作一条直线平行于AB分别交AC、BC于H、I两点(如上图所示).

所以由上述等式可以得到xPA+yPB+zPC

定理2的证明

由定理1的证明过程以及均值定理可得

xPA2+yPB2+zPC2

1 H.W.Guggenheimer. Plane Geometry and Its Groups. San Francisco,Cambridge, London,Amsterdam,1967:178

2 M.S.Klamkin. Nonnegative Quadratic Forms and Triangle Inequalities. For Motor Company Preprint, June 1971:7

3 单墫. 几何不等式[M].上海教育出版社，1980:29

4 邓波. 三角形内的点到三顶点距离和的上界--兼谈Klamkin不等式的另证及加强[J].安顺师专学报，2001(3)