Mathews-Lakshmanan振子方程的分析力学解法*

李京颍 丁光涛

(1.阜阳师范学院物理与电子科学学院,阜阳 236032) (2.安徽师范大学物理与电子信息学院,芜湖 241000)

引言

非线性的振荡是无处不在的事物运动发展的现象,除了传统的力学物理学和诸多工程技术科学外,还涉及从天体系统大气系统,到生态系统经济系统等很多自然和社会科学领域,人们以非线性微分方程模拟这些现象,利用多种方法求解这些方程,得到很多重要的研究成果[1,2].然而,对有些基本的理论问题而言,例如,涉及的系统的量子化时,近似解法、计算方法或实验的方法就达不到要求,因为理论要求能够导出系统的拉格朗日函数和哈密顿函数,能够得到精确的解析解.虽然这样的非线性系统很少,但是有必要研究它们,而且也存在不同的研究途径和方法[3-10].上世纪中叶以来,分析力学理论在很多方面仍然取得新的进展,例如,变分法逆问题和对称性与守恒量理论,分析力学理论和方法在求解微分方程中得到广泛的应用,这就为非线性系统研究提供了新的重要基础和途径[11-20].在力学和物理学的研究中,振动是一个重要课题,人们将线性的保守的振子系统,多方面推广变形,其中之一就是非线性非保守的Mathews-Lakshmanan振子(以下简写成M-L振子),此后,对该振子及其推广进行了多方面的研究,包括它的量子化[7-10].本文利用分析力学研究M-L振子,包括根据变分法逆问题理论和方法,将方程变换为自伴随方程,利用四种方法计算对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,实现方程的分析力学化,再从拉格朗日力学和哈密顿力学两条途径,得到振子方程的解,从而以此振子为例,说明分析力学理论和方法在非线性系统研究中的价值.

1 M-L振子方程的自伴随形式

1.1 一维微分方程系统的自伴随条件

根据变分法逆问题的理论和方法[12],对写成基本形式的一维系统:

(1)

自伴随的充分和必要条件是:

(2)

据此可知,对运动学形式的一维系统:

(3)

自伴随的充分和必要条件是:

(4)

(5)

代入条件(2),得到确定φ的方程:

(6)

1.2 将M-L振子方程变换为自伴随形式

1974年,Mathews和Lakshmanan提出一种非线性非保守振子[6,7]:

(7)

多年来,已经有一系列工作涉及上述振子的经典解和量子化的研究,也涉及将它推广成多维系统等[8-10].下面将根据变分法逆问题理论和方法,实现方程(7)分析力学化.首先,将它变换成为自伴随形式的方程,从而证明该方程可以构造对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,将其表示为拉格朗日方程和哈密顿方程形式.显然,方程(7)不满足条件(4),故引入因子φ,代入式(6)得到:

(8)

这个方程的一个解为:

(9)

即方程(7)能够变换成为如下自伴随方程:

(10)

换句话说,M-L振子(7)能够间接地表示为拉格朗日方程形式.

2 M-L振子方程的拉格朗日函数

2.1 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径一

对于自伴随形式的微分方程有多种途径构造拉格朗日函数,其中之一是Engels第一方法[12].若一维系统(1)是自伴随的,则其拉格朗日函数为:

(11)

这是一种比较简单的直接计算方法,将

代入式(11),计算得到:

(12)

2.2 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径二

有些情况下,通过变量变换可以将非自伴随的方程变换成为自伴随形式的,构造得到新变量的拉格朗日函数后,再变换成原来变量的拉格朗日函数[17,18].

文献[18]中通过变量变换方法,对下列变系数非线性动力学系统:

(13)

(14)

其中:

(15)

比较式(13)和(7),对M-L振子有:

(16)

代入式(15)和(14),得到式(12)拉格朗日函数L.

文献[17]提出另一种利用变量变换构造拉格朗日函数的方法,将此方法应用到方程(13),同样得到式(14)结果,即对方程(7)又导出式(12).

2.3 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径三

文献[19]给出一种从下列一维系统:

(17)

(18)

系统的拉格朗日函数可以写成以下形式:

(19)

其中系数A(t,x)和B(t,x)由下列方程确定:

(20)

对方程(7)应当先导出第一积分,为此将方程改写成:

由此可得第一积分:

(21)

上述方程存在如下一组解:

(22)

代入式(20),又得到式(12)拉格朗日函数L.

2.4 构造M-L振子方程的拉格朗日函数的途径四

文献[20]给出一种直接从运动方程构造Lagrange函数的直接方法.根据此方法,对方程(7),可以设拉格朗日函数:

(23)

代入拉格朗日方程,得到:

与方程(7)比较,得到:

(24)

由此可得一组解:

(25)

代入式(23),又导出式(12)拉格朗日函数L.

3 M-L振子方程的哈密顿函数

对于非线性系统的某些研究,还需要构造系统的哈密顿函数.在导出系统的拉格朗日函数后,利用勒让德变换,即可以导出哈密顿函数.由式(12)得到方程(7)的哈密顿函数:

(26)

式中广义动量:

(27)

上述拉格朗日函数(12)和哈密顿函数(26),与通常简谐振子拉格朗日函数和哈密顿函数存在一定的相似性,因此有人将M-L振子(7)看作质量与位置(坐标)相关的振子,哈密顿函数(26)是讨论M-L振子量子化的出发点.

4 M-L振子方程的经典解

4.1 利用拉格朗日函数根据诺特理论求解

导出拉格朗日函数(12)后,可以根据诺特(Noether)理论导出守恒量[14],由于函数L不显含时间t,故可从时间平移对称性导出振子的守恒量为:

(28)

这就是前面已经从运动方程直接导出的广义能量积分(21).由此积分进一步得到振子的解为:

(29)

当I<0时,振子存在严格的周期解:

x=Acos(ωt+φ0)

(30)

式中:

(31)

这就是说,这个非线性振子周期(频率)与振幅相关.

4.2 利用哈密顿函数根据哈密顿-雅可比理论求解

在导出哈密顿函数(26)后,可以列出正则方程求解,也根据哈密顿-雅可比理论求解[22].由于式(26)中的哈密顿函数不显含时间,故哈密顿-雅可比方程写成:

(32)

上述方程的积分为:

(33)

振子的运动方程由下式给出:

这个结果与式(29)相同.

5 结果与讨论

(1)本文对M-L振子给出了全面的分析力学求解过程:根据变分法逆问题理论和方法,从变换为自伴随形式的方程,说明它能够分析力学化；利用多种不同的途径构造得到振子的拉格朗日函数,进而导出哈密顿函数,即实现振子的分析力学化；分别通过诺特对称性与守恒量理论和哈密顿-雅可比方法,得到M-L振子的解析解.

(2)非线性现象是普遍存在的,研究的方法也多种多样的.M-L振子是一种非线性非保守的振动系统,也研究了它的量子化问题,这个振子系统可以被推广,有些系统的近似研究可以由它出发,因此,在经典力学基础上给出它的解析解是必要的.M-L振子的解法说明在非线性研究中可以利用分析力学理论和方法,与矢量力学相比,分析力学发展了更多更有效的积分方法[14,15,22],因此在研究非线性系统时,应当重视分析力学理论和方法.

(3)力学系统,包括非线性系统的分析力学化,关键在于构造对应的拉格朗日函数和哈密顿函数,这就表明变分法逆问题的理论和方法的研究和应用,应当得到进一步重视.

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