特征模态函数缺失和等比例缩小对系统非线性特征影响*

黄巍 杨永锋

(1.中国航发商用航空发动机有限责任公司,上海 200241) (2.西北工业大学振动工程研究所,西安 710072)

引言

对一列时间序列数据先进行经验模态分解(Empirical Mode Decomposition,简称EMD),然后对各个分量做希尔伯特变换获取瞬时频率的信号处理方法(称为希尔伯特黄变换Hilbert-Huang Transformation,简称HHT),是由美国国家宇航局的Norden E Huang于1998年首次提出的,HHT是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破[1].目前,非线性时间序列的长时预测和高精度预测是近年来研究的一个热点[2,3].Poon结合EMD与Hilbert变换,证明非线性多自由度结构存在非线性模态振动,并可通过特征模态函数(Intrinsic Mode Function, 简称IMF)确定非线性结构物理动态属性[4].Ghosh的研究结果表明EMD方法适用于延迟Duffing系统的混沌同步研究,并计算了其最大Lyapunov指数进行验证[5].Zou使用EMD方法比较了Lorenz系统x分量的非定常演变,结果表明IMF组成的敏感性依赖于x分量的初始值,为非线性长期预测的可能性提供科学依据[6].黄海用IMF的瞬时频率变化表示纸盆位移信号波内频率调制的非线性现象,直接反映出与扬声器结构相关联的非线性特性[7].李鸿光利用经验模态分解方法将混沌信号分离为不同的IMF,并在特定参数下从中分解出单一频率成分的谐波信号,从而成功地将混沌信号和谐波分量分离[8].本文基于上述基础,研究了IMF分量其中之一发生变化(缺失或比例缩小)对合成后信号的影响,主要考察IMF分量的吸引子形状和最大Lyapunov指数,其研究结果有助于探明IMF信号与原信号的最大Lyapunov指数之间的对应关系,为使用IMF信号进行非线性长时预测提供基础[2].

1 IMF缺失对系统非线性特征影响

1.1 Duffing系统

研究具有负线性刚度的Duffing方程[9]

(1)

选取参数c=0.3,ω=1.2,f=0.31,采用Newmark-β法积分,积分步长为0.01,积分初值为0.图1为Duffing系统响应及其IMF分量.表1列计算Duffing系统最大Lyapunov指数λ1的参数,其中τ为延迟时间、m为嵌入维数、P为平均周期.根据表1参数,利用小数据量法计算得到Duffing系统的最大Lyapunov指数为0.6753,经过EMD后其主要分量IMF1、IMF2和IMF3的最大Lyapunov指数分别为0.3213、0.1136和-0.0298,当其原始数据分别缺失IMF1、IMF2和IMF3(即原始数据减去相关IMF分量)的最大Lyapunov指数分别为0.1626、0.4438和0.1893.

图1 Duffing系统响应的经验模态分解Fig.1 EMD of the Duffing system respone

τmPLinearintervalλ1Duffing259213[62 298]0.6753IMF1276113[237 352]0.3213IMF2525295[382 499]0.1136IMF3554369[528 890]-0.0298Duffing-IMF1489391[510 914]0.1626Duffing-IMF2306200[181 299]0.4438Duffing-IMF3356210[320 479]0.1893

图2为Duffing系统IMF缺失时Poincaré映射,从中可以看出,数据分解对于吸引子形状破坏较为严重,仅IMF1的Poincaré映射点较为集中,剩余IMF分量Poincaré映射为无规律点集,当IMF1缺失时,系统的最大Lyapunov指数有较为明显的减小.因此IMF缺失时,系统的最大Lyapunov指数一般会减小,低阶IMF(主要指一阶或二阶)缺失对系统的最大Lyapunov指数影响较为明显,高阶IMF(主要指二阶以上)因信号主要为低频趋势成份,难以估计其对系统最大Lyapunov指数的影响.

1.2 Lorenz系统

无量纲Lorenz方程为[10]:

(2)

选取参数a=16,b=4,c=46,采用四阶Runge-Kutta算法积分,积分步长为0.01,积分初值为[-1,0,1].图3为Lorenz系统x分量响应及其IMF分量.表2列计算Lorenz系统x分量最大Lyapunov指数λ1的参数.根据表2参数利用小数据量法计算系统的最大Lyapunov指数为1.5156,经过EMD后其主要分量IMF1、IMF2和IMF3的最大Lyapunov指数分别为1.0847、0.9699和0.4362,均明显小于原信号.当其原始数据缺失IMF1、IMF2和IMF3时的最大Lyapunov指数分别为0.1882、0.5083和0.3788.图4为Lorenz系统x分量IMF缺失时的轨迹图.从图4中可以得出如下结论:当Lorenz系统和Duffing系统缺失IMF时,非线性特性的表现形式类似.

图2 Duffing系统IMF缺失时Poincaré映射Fig.2 Poincaré maps of Duffing system with IMF lost

图3 Lorenz系统x分量响应及其IMF分量Fig.3 EMD and x component repsonse of the Lorenz system

τmPLinearintervalλ1x396235.5[230 499]1.5156IMF1407147.4[315 488]1.0847IMF2416358.5[230 363]0.9699IMF3604461.0[333 583]0.4362x-IMF1496457.4[725 847]0.1882x-IMF2355300.3[631 698]0.5083x-IMF3426217.9[342 469]0.3788

图4 Lorenz系统IMF缺失时轨迹图Fig.4 Trajectory of Lorenz system with IMF lost

2 IMF比例缩小对系统非线性特征影响

2.1 Duffing系统

选取和2.1节相同参数.表3列计算Duffing系统最大Lyapunov指数λ1的参数.当IMF1、IMF2和IMF3缩小50%时(即原信号减去对应IMF×0.5),根据表3参数计算出响应的最大Lyapunov指数分别为0.5561、0.5221和0.3714,当IMF1、IMF2和IMF3缩小30%时,响应的最大Lyapunov指数分别为0.5850、0.5439和0.4194.图5为Duffing系统IMF比例缩小时Poincaré映射,从中可以看出,高阶IMF等比例缩小时,响应的最大Lyapunov指数比低阶IMF小,其主要原因是高阶IMF较为明显地破坏了原信号的吸引子形状,并且低阶IMF相比原信号的最大Lyapunov指数减小幅度较小.因此,低阶IMF等比例缩小对于信号的吸引子形状破坏较小,高阶IMF等比例缩小会严重破坏信号的吸引子形状.从最大Lyapunov指数减小来看,低阶IMF,其缩小比例越大,最大Lyapunov指数和原信号相比减小越多.

表3 Duffing系统IMF比例缩小时最大Lyapunov指数Table 3 Largest Lyapunov exponent of Duffing system with IMF cutdown

图5 Duffing系统IMF比例缩小时Poincaré映射Fig.5 Poincaré mpas of Duffing system with IMF cutdown

2.2 Lorenz系统

Lorenz系统所选取参数和2.2节相同.表4列计算Lorenz系统x分量最大Lyapunov指数λ1的参数.当IMF1、IMF2和IMF3缩小50%时,根据表4参数计算得到响应的最大Lyapunov指数分别为1.0968、0.7923和0.4214,当IMF1、IMF2和IMF3缩小30%时,响应的最大Lyapunov指数分别为1.1658、1.41和0.8918.图6为Lorenz系统x分量IMF比例缩小时的轨迹图.从表4和图6并结合上小节可以看出,对于低阶IMF,当缩小比例较小时,响应的最大Lyapunov指数较大,对吸引子形状的影响也较小,同样也可以得到前述结论.

图6 Lorenz系统IMF比例缩小时轨迹图Fig.6 Trajectory of Lorenz system with IMF l IMF cutdown

τmPLinearintervalλ1x396235.5[230 499]1.5156x-IMF1×0.5426289.7[551 684]1.0968x-IMF2×0.5415281.7[470 554]0.7923x-IMF3×0.5475226.1[444 482]0.4214x-IMF1×0.3316323.1[693 821]1.1658x-IMF2×0.3376278.5[423 490]1.41x-IMF3×0.3416236.2[414 489]0.8918

3 结论

本文研究了IMF缺失和比例缩小时Duffing系统和Lorenz系统的最大Lyapunov指数和吸引子形状变化情况,结果表明:低阶IMF对吸引子破坏较小,最大Lyapunov指数较大,IMF阶数较高时,响应的吸引子破坏较为严重,通常吸引子形状呈无规律点集,最大Lyapunov指数一般较小,甚至为负;当缺失低阶IMF时,系统的最大Lyapunov指数有较为明显的减小,当缺失IMF阶数较高时,系统的最大Lyapunov指数一般会减小,但因高阶IMF主要为低频趋势成份,其减小幅度不一定比低阶IMF大;当IMF比例缩小时,只有低阶IMF等比例缩小对信号的吸引子形状破坏较小,高阶IMF等比例缩小会严重破坏信号的吸引子形状,从最大Lyapunov指数减小来看,IMF缩小比例越大,最大Lyapunov指数和原信号相比减小越多.

1Huang N E, Shen Z, Long S R. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondonSeriesA, 1998,454(4):903～995

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3张学清,梁军. 风电功率时间序列混沌特性分析及预测模型研究. 物理学报, 2012,61(19):190507 (Zhang X Q, Liang J. Chaotic characteristics analysis and prediction model study on wind power time series.ACTAPhysicaSinica, 2012,61(19):190507 (in Chinese))

4Poon C W, Chang C C. Identification of nonlinear elastic structures using empirical mode decomposition and nonlinear normal modes.SmartStructuresandSystems, 2007,3(4):423～437

5Ghosh D, Chowdhury A R, Saha P. On the various kinds of synchronization in delayed Dufng-Van der Pol system.CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2008,13(4):790～803

6Zou M W, Feng G L, Gao X Q. Sensitivity of intrinsic mode functions of Lorenz system to initial values based on EMD method.ChinesePhysics, 2006,15(6):1384～1390

7黄海. 扬声器非线性特性的Hilbert-Huang变换分析. 浙江大学学报(工学版), 2005,39(3):385～391 (Huang H. Analysis of nonlinear behaviour of loudspeakers using Hilbert-Huang transform.JournalofZhejiangUniversity(EngineeringScience), 2005,39(3):385～391 (in Chinese))

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9王晓东,杨绍普,赵志宏. 基于改进型Duffing振子的微弱信号检测研究. 动力学与控制学报, 2016,14(3):283～288 (Wang X D, Yang S P, Zhao Z H. Research of weak signal detection based on the improved Duffing oscillator.JournalofDynamicsandControl, 2016,14(3):283～288 (in Chinese))

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