带边角裂纹悬臂Mindlin板的振动特性研究*

陈丽华 薛坚 张伟

(北京工业大学, 北京100124)

引言

裂纹广泛存在于工程结构中,如果出现裂纹,结构的阻尼和刚度将会发生改变,从而导致结构的振动特性发生变化.梁、板元件是工业中应用最广泛的结构,特别是在航天、航空领域,由于板出现裂纹经常导致重大安全事故的发生.因此,研究裂纹对板振动特性的影响有重要的理论意义和广泛的工程应用前景.

对于含边角穿透裂纹的振动特性研究,Yuan,Dickinson[1]应用区域分解法,并在内边界人为地附加虚拟弹簧,研究了带边角裂纹的四边简支矩形板的弯曲振动问题.Yuan和Young[2]也用了区域分解法研究了完全自由的带边角和内部裂纹环形板的振动问题.Liew[3]等人用同样的方法得到了各种边界条件下裂纹矩形薄板的固有频率.他们将裂纹板假设成可以用适当方程表达的子区域的组合体,并得到了裂纹薄板振动问题的特征值方程.Leissa,Huang[4,5]假设裂纹板的模态函数由两部分构成,一个是代数多项式,一个是附加的转角函数,并结合Ritz法研究了带V型裂纹或边角裂纹矩形的自由振动.Huang[6,7]用同样的方法研究了四边简支或悬臂的矩形Mindlin板和功能材料Reddy板.本课题组陈丽华、孙悦[8,9]等人研究了带边角裂纹悬臂矩形薄板的振动特性.在此基础上本文考虑剪切变形的影响对带边角裂纹悬臂矩形Mindlin板的振动特性进行研究.

本文用梁函数组合法得到理想完整板的模态函数,这样由完整板的模态函数和角函数组成的特殊模态函数能更好的描述板的振动特性并且有了更好的物理意义.最后,本文研究了裂纹长度、裂纹高度、裂纹角度对Mindlin悬臂板振动特性的影响,并利用Ansys有限元软件进行验证.

1 控制方程

基于一阶剪切变形理论,Mindlin板自由振动的动力学方程为:

(1)

(2)

(3)

矩形悬臂板的边界条件为:

固定端:y=0:w=0,φy=0,φx=0

(4a)

自由端:y=b:Mx=0,Mxy,Qx=0

(4b)

x=0,a:My=0,Mxy,Qy=0

(4c)

式中,w表示板的法向位移；J=h3/12；h为板的厚度；ρ为板的质量密度；w表示中性面上的横向位移；φx和φy是中性面法线转过去的角度.这里:

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

式中,D为板的抗弯刚度,D=Eh3/12(1-v2);G为剪切模量,G=E/(2(1-v));κτ=π2/12为剪切修正系数;E,v分别为材料的弹性模量和Poisson比.

2 位移函数

裂纹板自由振动解的形式可设为:

w(x,y,t)=W(x,y)φ(t)

(6a)

φx(x,y,t)=Φx(x,y)φ(t)

(6b)

φy(x,y,t)=Φy(x,y)φ(t)

(6c)

W(x,y),φx(x,y)和φy(x,y)为裂纹板的振型函数.

本文采用双向梁函数组合的级数形式来逼近完整板振动的真实振型.对于完整矩形Mindlin板的振型可以设为:

(7a)

(7b)

(7c)

其中Xi(x),Yi(y)分别为板x,y方向与边界条件相对应的梁位移函数,Φi(x),Φj(y)分别为与板x,y边界条件相应之梁转角函数,Aij,Bij,Cij为待定的振型系数.

下面根据梁函数组合法来求完整板的模态函数.

如图1,x方向(自由-自由)的各阶梁函数为:

X1=1

(8a)

(8b)

(i=3,4,5,…)

(8c)

在y方向(固定-自由)的各阶梁函数为:

(9)

由文献 [10]可以得出转角函数:

(10a)

(10b)

Xi‴表示Xi(x)对x的三阶偏导,Yj‴表示Yj(y)对y的三阶偏导.

图1 矩形板的尺寸以及(r,θ)坐标Fig. 1 Dimension and coordinate of a rectangular plate with a side-crack

将式(8a～8c)和(9)分别代入式(10a)和(10b)中便可得到转角的Φi(x),Φj(y)的振型函数,再代入到(7a～7c)便可以得到完整矩形Mindlin板的振型函数.

考虑到带边角裂纹矩形板的振动,只用式(7a～7c)来描述其振型函数显然是不合理的,因为不满足裂纹处位移和转角不连续的条件,因此需要在完整板的基础上附加上一个角函数来描述裂纹附近的性质.针对裂纹板,其振型函数由两部分构成,一部分是用梁函数组合法得到的理想完整板Mindlin板的振型,另一部分是利用裂纹的尖端奇异性理论来构造描述裂纹附近位移和转角的角函数,即运用半角三角函数的性质,在裂纹两边构造挠度和转角不连续性质的表达式.所以带裂纹矩形Mindlin板的振型函数可设为:

(11a)

(11b)

(11c)

式中ψkc(r,θ)(k=1,2,3)为描述裂纹的角函数.

附加描述裂纹性质的角函数可设为:

(l=0,1,2,…,n；n=1,2,3,…)

(12)

(13)

但是θ的表达式在各个区域的形式有所不同,具体表达式如下:

(14)

式中,x0=a-dcosα,y0=c-dsinα,如图1所示,α是裂纹顺时针方向与水平线的夹角,a、b分别是矩形板的长和宽,c、d分别是裂纹的高度和长度.

将式(13)中r的表达式和(14)中不同区域的θ表达式代入(12)中就得到了直角坐标下的角函数表达式.

在(12)式中gk(x,y)是满足各种几何边界条件的简单函数.对于y=0处固支的悬臂板其表达式可表示为:

gk(x,y)=y(k=1,2,3)

(15)

3 Ritz法

本文研究的是带裂纹矩形Mindlin板,如图1所示.基于Mindlin板理论,用Ritz法可以求出裂纹板的固有频率.在Ritz法中,带裂纹矩形Mindlin板的最大势能(Umax)和最大动能(Tmax)分别为:

(16a)

(16b)

式中,ω是带裂纹矩形Mindlin板的固有频率；W,Φx和Φy分别是式(11a～11c)中的模态函数;这些函数下标里逗号后面的变量表示函数对相应变量的偏导.通过求能量方程:

∏=Vmax-Tmax

(17)

(18)

4 结果分析

4.1 带裂纹悬臂Mindlin板的频率分析

(1)裂纹长度对悬臂Mindlin板频率的影响

表1考察相同裂纹角度和裂纹位置下不同裂纹长度对板固有频率的影响.裂纹位置c/b=1/2;裂纹的角度α=15°或α=-15°;裂纹长度的变化为d/a=0.1,0.2,0.3,…,0.6.

表1 不同裂纹长度悬臂板的频率参数Table 1 Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plates with different crack lengths

在裂纹角度和位置相同的情况下,改变裂纹的长度对固有频率有一定的影响,从表1可以看出,不论对于第几阶固有频率,均是裂纹长度越长,板固有频率就越小,这是由于局部刚度减小的原因造成的.当裂纹长度大于或等于板的宽度的一半时,固有频率减小得更快.

(2)裂纹位置对悬臂Mindlin板频率的影响

图2考查了相同裂纹角度和裂纹长度下不同裂纹位置对板的前三阶固有频率的影响,裂纹位置的变化为c/b=0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,…,0.75.

在裂纹长度和角度相同的情况下,改变裂纹的位置对固有频率也有一定的影响,从图2可以得出:当α±15°时,随着裂纹位置由固定端向自由端移动,裂纹板的第一阶固有频率逐渐增大,第二阶固有频率先减小后增大,即当裂纹处在板中间位置时对固有频率的减小比在两端时有更显著的影响.在α为15°时,对于第三阶固有频率,由于第三阶振动模态有两条节线,所以固有频率的变化趋势是先增大后减小再增大,在越靠近节线位置附近频率减小的越显著.当α为-15°时,固有频率的趋势是先减小后增大.

图2 d/a=0.4时不同裂纹位置悬臂板的前三阶频率参数Fig. 2 Firstthree order Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack locations (d/a=0.4)

(3) 裂纹角度对悬臂Mindlin板频率的影响

图3(a)～3(c)考查了相同裂纹位置和裂纹长度下不同裂纹角度对板的前三阶固有频率的影响,横坐标的单位为(°).

在裂纹长度和位置相同的情况下,改变裂纹的角度对固有频率有一定的影响,当裂纹角度与x轴的夹角从正方向增大时,第一阶固有频率逐渐减小,第二阶和第三阶固有频率均是一直呈增大的趋势；当裂纹角度与x轴的夹角从负方向增大时,前两阶阶固有频率均呈现增大的趋势,第三阶固有频率先减小后增大.

图3 d/a=0.4,c/b=0.5时α不同裂纹角度的前三阶频率参数Fig. 3 First three order Frequency parameters ωa2 of different crack angles at crack angles at d/a=0.4 and c/b=0.5

4.2 带裂纹悬臂Mindlin板的模态分析

得到各阶固有频率之后,本文计算了前三阶的振型,针对Mindlin板分别给出了挠度W和转角Φx、Φy的模态图.

图4 裂纹板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°时有关W的前三阶模态函数图Fig. 4 First three order model of W for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

图5 裂纹板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°时有关Φx的前三阶模态函数图Fig. 5 First three order model of Φx for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

图6 裂纹板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°时有关Φy的前三阶模态函数图Fig. 6 First three order model of Φy for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

从图4～6中裂纹板的模态函数图可以看出,裂纹的存在使得各阶的模态函数图中出现了位移和转角不连续的现象.

5 有限元仿真

本文应用Ansys有限元分析软件进行建模和求解,由于本文研究的是悬臂裂纹Mindlin板,因此选取壳单元进行建模.图7为Ansys中截取的一张有限元模型图.

图7 Ansys中裂纹板模型图以及局部放大图Fig. 7 The FE model of crack plate and its partial enlarged detail in ANSYS

有限元中材料和尺寸比例与前面的理论计算保持一致.其中计算结果与理论计算结果对比和误差分析如表2和表3.表2对不同裂纹长度下仿真与理论计算的结果进行对比.表3对不同裂纹位置下仿真与理论计算的结果进行对比.

图8为Ansys有限元仿真得到的裂纹板前三阶模态函数图.

将图8与上一节理论计算中的图4对比可以看出,同样的裂纹参数下,其振动的模态函数图形式是一致的,可以验证理论计算求解模态函数的正确性.

表2 不同裂纹长度悬臂板的前三阶频率参数Table 2 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack lengths (c/b=0.5,α=15°)

表3 不同裂纹位置悬臂板的前三阶频率参数Table 3 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack location (d/a=0.4,α=15°)

图8 时有限元仿真的前三阶模态函数图Fig. 8 First three order model of crack plate at in ANSYS

将仿真的数据与理论计算结果进行对比,发现当裂纹参数变化时,两种结果均呈现了相同的变化规律,并且有限元仿真与理论结果的误差可以控制在一定的范围内.通过验证可以说明理论推导的正确性.

6 结论

本文利用Ritz法求得了带边角裂纹悬臂板的固有频率和模态函数,进而研究了不同裂纹参数对板固有频率的影响.并应用Ansys有限元分析软件进行验证.通过本文的研究发现:

(1)本文推导的附加角函数的模态函数可以表示裂纹处位移及转角的不连续性.

(2)通过对本文理论分析得到的固有频率和模态与有限元软件Ansys得到的结果进行对比验证了本文理论推导和计算的正确性.

(3)通过分析裂纹参数对固有频率的影响表明:①裂纹的存在使得局部刚度减小,不论对于第几阶固有频率,均是裂纹长度越长,板固有频率就越小.②裂纹靠近节线位置时频率减小的越显著.③随着角度从负向正增大时,第一阶固有频率逐渐减小,第二阶和第三阶固有频率均先减小后增大.

本文对裂纹板的研究在损伤探测方面具有重要的应用价值,可利用本文的研究成果来探测裂纹的位置和长度,并且为以后裂纹板的非线性振动研究奠定了理论基础.

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