关于建筑物高度的测量

梁梦瑜

[摘要]数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁，无处不用数学。”可见，数学与生活的关系十分密切，在如今高楼林立的时代，我们经常会看到高大的建筑物，可我们有没有思考过如何简便快捷地测出他们的高度呢？

[关键词]建筑物 高度 测量

一、问题的提出

在生活中我们经常会遇到高大的建筑物，我们怎样用简便快捷的方法测量出它的高度来解决实际问题呢？最近，学校国旗杆需要翻新，为了不影响正常的升旗仪式，必须尽快找到可以替换的相同高度的旗杆，于是我们便要设计一套方便可行的测量方案。

二、设计测量方案一

（1）测量工具：皮尺，测角仪。

（2）若升旗台周围地面平坦开阔，就可以選择方案一。首先，在升旗杆附近地面取一点B，到旗杆底C的距离BC，BC-a，接着在B点用测角仪测出到旗杆顶A的顶角B。

则在Rt△ABC中tanβ=AC/BC

AC=BC·tanβ=a·tanβ

即旗杆长为测得的BC长×测得的角度的正切值的积

（3）方案优化。若考虑到测角仪本身就有一定的高度，那么就应该首先测出测角仪的高度，记为CD=b再用皮尺测出测角仪底部到旗杆底部的距离BD=a，读出点C到旗杆顶A的仰角Y。

∵CDBE为矩形

∴BE=CD=b CE=BD=a

在Rt△AEC中

AE=tanγ·CE

AB=BE+EA=b+a·tan

（4）特殊情况，粗略测量。若工具不齐全，只有可供测量长度的皮尺，我们可以以自身为工具。已知身高EF=C测出此刻旗杆落在地面的影长BC=a以及同时刻旗杆落在地面的影长FD=b

PS：由物理学知识可知，由于太阳距离地球很远，可以将太阳射到地面的太阳光近似看成平行光，所以不必在同一个位置测量影长，附近即可。

△ABC∽△EFD

AB/EF=Bc/DF

∴AB=ac/b

三、设计测量方案二（方案升级）

若旗杆底部有隔挡物使我们难以直接到达底部，可在能到达的地方设测角仪如图所示。

此方案适合测量建筑物旁有河流等不方便测影长的建筑物高度。

四、设计测量方案三（贴近实际）

多数旗杆不会直接在操场上，会有高出地面一定高度的台子包围，这时就需要用到方案三。

分别利用解三角形知识解Rt△ABC、△BFC

即可求出AC、FC

∴AF=AC=FC=a（tanβ-tanθ）

测量建筑物的高度，用经纬仪，先用仪器测出角度和量出建筑物至仪器的距离，然后用三角函数计算。查下楼层数，乘以个单层层高，能大概估算出楼高，但是这只能在标准层比较多的情况下使用。最简单的方法是目测，民用建筑的层高3米左右商务建筑层高一般在3.6米左右，这样就能估算出大致高度。

建筑高度是指屋面面层到室外地坪的高度。屋顶上的水箱间、电梯机房、排烟机房和楼梯出口小间等不计入建筑高度。

高度规定：

指建筑物室外地平面至外墙顶部的总高度。应符合下列规定：烟囱、避雷针、旗杆、风向器、天线等在屋顶上的突出构筑物不计入建设高度。楼梯间、电梯塔、装饰塔、眺望塔、屋顶窗、水箱间等建筑物之屋顶上突出部分的水平投影面积合计小于标准层面积25%的，不计入建筑高度、层数。平顶房屋按建筑室外设计地面处至屋面面层计算；坡顶房屋建筑按建筑室外设计地面和屋脊平均高度计算。坡顶不同坡度计算按照当地规定执行。

若有底部有不可到达的建筑物，需要将下面的建筑物和最高点的高度。

选择一个水平线，测仰角，若建筑物在山顶上，需要测量在建筑物的最高点，最低点处的俯角，分别在两地求仰角，可求出山的高度。

如：

五、利用到的数学

解三角形

相似三角形

三角函数

简单几何图形

六、现代测量仪器

经纬仪：

经纬仪是测量工作中的主要测角仪器。由望远镜、水平度盘、竖直度盘、水准器、基座等组成。测量时，将经纬仪安置在三脚架上，用垂球或光学对点器将仪器中心对准地面测站点上，用水准器将仪器定平，用望远镜瞄准测量目标，用水平度盘和竖直度盘测定水平角和竖直角。按精度分为精密经纬仪和普通经纬仪；按读数设备可分为光学经纬仪和游标经纬仪；按轴系构造分为复测经纬仪和方向经纬仪。此外，有可自动按编码穿孔记录度盘读数的编码度盘经纬仪；可连续自动瞄准空中目标的自动跟踪经纬仪；利用陀螺定向原理迅速独立测定地面点方位的陀螺经纬仪和激光经纬仪；具有经纬仪、子午仪和天顶仪三种作用的供天文观测的全能经纬仪；将摄影机与经纬仪结合一起供地面摄影测量用的摄影经纬仪等。

经纬仪是望远镜的机械部分，使望远镜能指向不同方向。经纬仪具有两条互相垂直的转轴，以调校望远镜的方位角及水平高度。此类架台结构简单，成本较低，主要配合地面望远镜（大地测量、观鸟等用途）使用，若用来观察天体，由于天体的日周运动方向通常不与地平线垂直或平行，因此需要同时转动两轴并随时间变换转速才能追踪天体，不过视场中其它天体会相对于目标天体旋转，除非加上抵消视场旋转的机构，否则不适合用于长时间曝光的天文摄影。

七、反思与评价

（1）凡是求高（即一个线段的长度）的实际问题，往往可以借助解直角三角形的数学知识来解决，如果没有现成的直角三角形，可以设法构造一个直角三角形。

（2）对于一些负杂的地理情况等，如果不能以单解一个直角三角形来解决，就可以考虑解两个直角三角形来解决。

（3）如果更复杂写的问题，不能通过解直角三角形来解决问题，我们可以去寻找已知与未知的简单几何关系来确定如何解决，等量代换等，侧面借助解三角形建立等量方程从而解决问题。

八、结论

测量高大建筑物时应该考虑实际地形，因地而异，大致分为以上几个类型，可以代入计算从而简便地得到建筑物的高度，可以节省测量的人力物力达到节约资源的目的。

九、说明

此篇论文主要围绕一个实际问题，得到一系列计算高大建筑物高度的简便方法，可以粗略得到结果，在分析过程中，忽略了一些次要因素，若带入实际数据，还是会得到较为准确的数据，相信这篇论文会在实际问题中有一定的实际价值。以上是常见的测量建筑物高度的几种解决方法，在不同条件和环境下可以较为精确地测出建筑物的高度，这就是数学的神奇之处，在生活中应用数学知识可以解决很多实际问题呦！