浅谈如何培养初中生的数学核心素养—以《一次函数》教学为例

广东省东莞市茶山中学(523381)　卢锦光

一、数学核心素养的内涵

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出并设计了10个核心概念,这十个核心概念分别是:数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.这些核心概念,是涉及到学生在学习数学中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等,是义务教育阶段数学课程最应该培养的数学素养,也是促进学生发展的重要方面.这些核心概念都是数学课程的目标点,也应该成为数学课堂教学的目标,并通过老师的教学予以落实.

二、在数学教学中培养初中生的数学核心素养

在课堂教学中,为了达到核心素养的培养目标,课堂教学体系要具备完整性,丰富课堂教学环节,从课前引入到课后反思巩固,丰富课堂教学内容,从浅显易懂到教学重点、难点,提高整个课堂教学体系的数量和质量.这样的课堂教学不仅丰富学生数学知识,还可以提高数学素养,进而实现能力与品格并重.下面,笔者结合人教版八年级下册《一次函数》这章书的教学,谈一谈如何培养初中生的核心素养.

(一)从《函数的概念》教学,让学生体会数感的美.

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系.

学生进入初中阶段,所接触的数域不断扩大,由自然数域到有理数域、无理数域,最后到实数域.这里要求学生要掌握实数的大小比较,理解实数和数轴上的点是一一对应的.因此,学生在学习实数的过程中,通过数轴使得数学形象化,具体化,从而更容易掌握.而其实初中数学与小学数学的转折点是由数到字母的转变,由具体到抽象的转变.函数就是这个转折中的一个重要领域,函数反映的是一种数量变化关系.这些都是学生体会、理解的.

在《函数的概念》这节课中,如果只给出函数定义:在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,则x为自变量,y是x的函数.学生是很难理解的.因此,我会将这个定义分解,让学生明确函数是一种数量的变化关系.举例:我们窗外的这棵树,刚开始是一棵小树苗,随着时间的流逝,慢慢的长高,这就是一个变化过程.在这个变化过程中,时间是会变化的,树的高度会变化的,这就是两个变量.我们知道:随着时间的流逝,数慢慢长高,而不是因为树长高了,所以时间流逝了.因此,这里时间是自变量,树的高度是函数.

最后,就是让学生理解唯一确定.我们可以将函数看成是一个黑匣子,放一个数(作为自变量)进去,看看输出什么样的结果(作为函数值).首先,唯一,必须是进一个数,出来一个数.如图1,进一个数,出来2个数,所以就没有唯一了.如图2,看似符合要求,进一个数,出来一个数.但是,第一次输入1时,得到的是2,第二次输入1时,得到的是3,就相当于说,输入1时,可能得到的是2,可能得到的是3,这种情况就没有唯一确定了.

图1

图2

如图3,我们看看这种情况符合要求不?输入1时,得到的是3;输入2时,得到的也是3,那这种情况跟图2的情况一样吗?答案是:不一样.图2的情况是与1对应的值有2个,可能是2,可能是3.而图3的情况是与1对应的数是唯一确定的,是3;与2对应的数是唯一确定的,是3.这里我们所说的是,每一个自变量的值有唯一确定的函数值跟它对应,而没有说一个函数值一定只能对应一个自变量的值,一个函数值可以对应几个不同的自变量的值.

图3

通过以上的教学,本来函数的概念是抽象的,变得具体化,形象化.学生变得容易接受了.同时,学生在听课的过程中,慢慢的理解到了一种数量关系,体会到数感的美.

(二)从《画函数图象》教学,增强学生的空间观念.

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等.

对于《画函数图象》这节课,课本给出了3个例题,分别是画y=x+0.5、S=x2(x＞0)和y=(x＞0)三个函数图象.因为S=x2(x＞0)和y=(x＞0)这两个函数是初三的重要内容,而且相对来说比较难画.对于连一次函数图象都不会画的初二学生,学习画这两个函数图象是比较困难的,也难学会,到了初三也不记得,不是在浪费时间吗?所以有些老师就干脆就不教了.同时,有些老师为了节省时间,在这节课就直接教授两点法,画一次函数图象了.

这节课内容在这学期不常考,不讲也不会影响到后面的学习.在讲解一次函数图象时,直接教授两点法画一条直线,考试可以顺利拿到分,看起来是省时省力.但是,课本安排这节课的意图是想让学生在学习画函数图象的过程中,摸索、探究、发现函数图象是可以形形色色、多种多样的,可以是直线,可以是曲线.而如果我们直接教学生两点法画一条直线,那么是否使学生认为所有的函数图象都是直线呢?同时,S=x2(x＞0)和y=(x＞0)这两个函数的图象可以很好的让学生体会到描的点越多,画的图象就越准确;还可以让学生很好的理解“平滑的曲线”是怎样一回事.因此,这节课,我们应该要将它讲通、讲透.让学生清楚认识函数图象.

笔者上这节课时,先给出画函数图象的一般步骤:1、列表;2、描点;3、用平滑的曲线连线.接着,笔者在黑板上展示画y=x+0.5的函数图象.让学生观察每一步是怎样做的.展示完后,让学生画y=−x+1这个函数图象.同学们基本上都能掌握了.然后,让学生试画出S=x2(x＞0)的函数图象.当然,因为学生刚刚学画函数图象,我会先提醒学生,该函数中自变量的取值范围是什么,列表时要注意怎样选取合适的数.学生在画图象过程中,出现了各种各样的状况,学生中有少部分学生计算错误,图象画变形了;但更多的学生是描点以后,直接用尺将相邻两点连起来的.这时,为了让学生知道这个函数图象直接用尺连线是错误的,笔者利用几何画板这个软件,通过几何画板的演示,当描的点越来越多时,图象的轨迹就越来越清晰.这里画出来的是一条平滑的曲线.接着,笔者在黑板上将S=x2(x＞0)的函数图象在黑板上演示了一遍.学生们都感觉到茅塞顿开.趁热打铁,让学生画y=(x＞0)这两个函数的图象.这时,学生画出了挺标准的图象了.课堂小结时,我提出一个问题:上节课老师不是说心电图那种图象可以表示一个函数吗?那么有没有哪种函数的图象是那样子呢?学生顿时就议论起来了.为了解答这个问题,我利用几何画板画了一个y=sinx的三角函数图象给学生看,学生看完后,都惊叹不已,原来函数图象是可以这么多变化的.笔者顺势简单介绍了一下,大大提高了学生的学习兴趣.

借助几何画板这个软件,我们可以形象地将函数图象展示给学生看,让学生有一个清晰的认识,大大的增强学生的空间观念,提高学习兴趣.

(三)从《函数图象》教学,增强学生的几何直观.

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.

认识和理解函数图象是从这节课开始,所以必须用心上好这节课.下面以一道例题来分析.

例1如图4的图象反映的过程是:小明从家里出发去离他家较近的菜地浇水,再去离他家较远的玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.(小明、菜地、玉米地在同一直线上).

图4

(1)菜地离小明家____千米,小明从家走到菜地用了___分钟;

(2)小明在菜地浇水用了____分钟;

(3)小明从菜地走到玉米地用了____分钟;

(4)小明在玉米地锄草用了___分钟;

(5)玉米地离小明家____千米,小明从玉米地走回家的平均速度是___米/分钟.

从例1中,需要教会学生利用函数图象去解决实际问题.学生做题前,先引导学生看图象,理解图象的意义.首先,让学生说说图中5条线段的意义.线段OA表示从家到菜地的过程中,离家距离y与时间x之间的关系;线段AB表示在菜地浇水时,离家距离y与时间x之间的关系;线段BC表示从菜地到玉米地的过程中,离家距离y与时间x之间的关系;线段CD表示在玉米地锄草时,离家距离y与时间x之间的关系;线段DE表示从玉米地回家的过程中,离家距离y与时间x之间的关系.接下来,让学生说说对图象存在的疑问.学生提出以下问题:1、为什么线段AB和CD跟x轴平行?答:以线段AB为例,小明在菜地浇水,与家的距离一直没有变化,从15分钟到25分钟这段时间,与家的距离都是1.1千米,所以平行于x轴.2、为什么从玉米地回家的图象不是线段DO吗?怎么变成DE呢?答:可能有部分同学对函数图象和小学所学的线段图有点混淆,这里的点O不是代表家,而是0分钟时,小明在家,离家的距离为0,所以经过了点O(0,0);80分钟从玉米地回到了家,这时,离家的距离为0,所以图象经过点E(80,0).经过分析后,学生理解了图象,很顺利的完成任务.

(四)从《课题学习选择方案》教学,培养学生的模型思想,提高学生的数学应用意识.

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识.

应用意识有两个方面的含义,一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;另一方面,认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识,综合实践活动是培养应用意识很好的载体.

下面,从《课题学习选择方案》教学,谈谈如何引导学生用建模的思想来解决现实问题.

例2怎样选取上网收费方式?

_收费方式____月使用费/元__包时上网时间/小时__超时费/(元/分钟)____________________A30______________25_______________0.05_________________________B45______________50_______________0.05________________________C120___________不限时_______________________

表中给出A、B、C三种上宽带网的收费方式.选取那种方式能节省上网费?(本例题中为了计算方便,数据有所调整)

该例中,可以让学生初步接触建模思想,培养学生的模型思想.同时,教会学生利用所学的数学知识来解决实际生活中的问题.

因为例中给出了3种收费方式,为了分散难点,先将这3种收费方式分开研究、讨论,再综合解题.设收费方式A、B、C对应的费用分别是y1元、y2元、y3元,上网时间为x小时.老师先给学生分析收费方式A中费用y1与上网时间x之间的函数关系式,根据题意可以得到如下的函数:

化简,得

并引导学生画出图象.

图5

学生模仿,得出收费方式B中y2与x的函数关系式:

收费方式C中y3与x的函数关系式:y3=120,x≥0,并在同一坐标系画出相应的函数图象(如图5).从图中可以看出:当0＜x＜30时,选择方式A最省钱;当30＜x＜75时,选择方式B最省钱;当x＞75时,选择方式C最省钱.

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《数学标准(2011年版)》中模型思想的基本要求,也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能,积累数学活动经验,感悟模型思想的本质.这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题,培养创新意识.

三、结束语

数学教学是一个漫长的过程,老师们需要在每节课的教学中不停的渗透数学核心素养,让学生在数学学习中体会到数学的美,真正领悟到“数学好玩,玩好数学”的含义.并能通过所学的数学知识,应用到生活中去,解决问题.这个教学过程应该是润物细无声,让学生在潜移默化中发展自身的数学核心素养.