基于CPFS结构理论的导学案编写*——以“等差数列”为例

广东省广州市第十六中学(510080)　郭施敏

喻平教授提出一个数学概念C的所有等价定义的图式,叫做概念C的概念域.一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系.与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域.在一个命题集中,任意一个命题都至少与其它某一个命题有“推出”关系,就称这个命题集的图式为一个命题系.概念域、概念系、命题域、命题系(记为CPFS结构)是对数学认知结构的精确描述,它反应了命题系数学学习特有的心理现象和规律.[1]

根据CPFS理论,概念教学的重要目标是努力完善学生的概念域与概念系,乃至相关的命题域和命题系.这要求教师引导学生以所学的概念和命题为中心,自由联想、深入推理,充分挖掘与之相关的概念及命题,凸显、强化命题的演变过程,梳理、理解不同概念及命题之间的关系(注意上位、下位、并列和同位学习).[2]

《完善中学生CPFS结构的生长教学策略研究》研究指出,变式教学促进学生认知结构中结点的稳固和节点间关系的疏通,从而有利于学生形成良好的CPFS结构.实施变式教学有两种策略:概念性变式策略和过程性变式策略.概念性变式教学策略,可构建一个聚焦于学习对象关键方面的变异空间,让学生体验和理解概念的本质;过程性变式教学策略,通过铺垫来建立合适的教学脚手架,帮助学生建立新旧知识的内在合理联系,促进学生在“最近发展区”的发展.“概念性变式”,目的在于帮助学生形成对学习对象本质的多角度理解,而“过程性变式”,目的在于建立学习对象与学习者已有知识的内在合理联系.[3]

王丽芝在导学案的教学实验研究中指出:导学案从不同的角度就可以得到不同的认识,但都体现了对学生学习过程的规划,学习思路的梳理,学习方法的点拨,学习规律的总结,训练样题的设计.研究中所指的“学案”是由教师根据教学要求、学生的知识基础、能力水平、学法特点和心理特征等,以课时和课题为单位设计的或在教师指导下由学生设计的培养创新意识、训练和发展学习能力的,供学生在整个学习过程使用的一种学习方案.[4]

一、教学思考

根据CPFS理论,等差数列概念的教学过程是帮助学生正确理解所学概念,通过深挖和拓展产生较丰富的概念域,最终达到在学生头脑中建立清晰的概念系.而等差数列的通项公式为命题教学.教师既引导学生通过观察、类比推理、逻辑推理等简单的推理手段归纳等差数列的通项公式.通过公式的推导寻找到公式生长的根,认识等差数列“首项a1,公差d及通项an”的关系,初次感受等差数列的基本量“a1、d”在等差数列中的重要作用;并由此推导等差数列通项公式的等价表达,形成命题域;多角度认识等差数列的通项公式并引导学生发现等差数列与之相关的数学知识,理解它们之间的相互关系,形成命题系;还要引导学生结合生活应用背景,把生活中的实际问题抽象为数学问题,并使用等差数列的相关知识解决它,以加深理解,强化概念系及命题系.

为此,笔者在教学中抓住等差概念的理解、等差数列通项公式的推导、变式、应用四个环节以及数、形两种表征,引导学生尽可能地发现与之相关的多种概念的等价说法,把“概念性变式”教学融入导学案的编写中,帮助学生理解等差数列的概念,同时把“过程性变式”教学融入导学案的编写中,帮助学生认识等差数列通项公式的应用,发现等差数列公式与一次函数之间的联系,并提出和解决一些相应的问题.总的来说,在等差数列的概念及通项公式教学过程中,以导学案为载体,通过概念性变式教学和过程性变式教学的策略,帮助学生形成良好的CPFS结构.

二、教学过程

(一)等差数列概念多角度理解—“概念性变式”教学的导学案编写

1.等差数列的定义文字叙述:一般地,如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.

2.初步了解等差数列的概念–概念性变式练习A

判断以下数列是否等差数列,如果是请求出公差.[5][6]

(1)0,0,0,0,···,(2)1,−1,1,−1,1,···

(3)−1,0,−2,−4,−6,···(4)9,5,1,−3,−7,···

(5)0.70,0.71,0.72,0.73,···(6)a,3a,5a,7a,9a,···

本例导学案的编写目的:对等差数列概念性变式设计铺设层次如下表:

题号________第（1）题第（2）题第（3）题________考查内容每一项与前一项的差为0的数列也是等差数列.处理前一项的差与后一项的差不等的情况,对非等差数列的判断方法.等差数列定义的关键字眼“从第二项起”.达到水平___明白d=0,认识常数列时等差数列的特殊形式.学会判断非等差数列.学会判断非等差数列.题号________第（4）题__________________第（5）题___________________第（6）题________考查内容每一项与前一项的差为小于0的常数的数列也是等差数列.______每一项与前一项的差为大于0的常数d,这里d为小数,考查常数d所属的数域没有限制._____每一项与前一项的差为a,判定其为等差数列.考查公差d为字母的判断.__达到水平认识d＜0的等差数列.概括d的取值范围.体会字母的稳定性与字母的可变性,达到高层次的等差数列判断水平.____

3.逐步建立等差数列概念域–概念性变式练习B组

(1)若{an}是公差为d的等差数列,请判断{an+1}是否等差数列,若是,请求出公差;

(2)若{an}是公差为d的等差数列,请判断{2an}是否等差数列,若是,请求出公差;

(3)若{an}是公差为d的等差数列,请判断{λan+b}(λ,b为常数)是否等差数列,若是,请求出公差;

(4)若{an},{bn}是公差为d1,d2的等差数列,请判断{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2为常数)是否等差数列,若是,请求出公差;

(5)已知数列{an}是等差数列,求证:{bn}也是等差数列.

(6)已知数列{an},a1=1,a2=a,an+2−an=4,请判断{an}是否等差数列,若是,请求出公差.

4.延伸等差数列概念的深度–概念性变式练习C组

通过上述两组变式练习,学生产生对等差数列概念的多种等价说法:

①如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列;

②a2−a1=d,a3−a2=d,a4−a3=d,···;

③an−an−1=d(n≥2,n∈N+);

④an+1−an=d(n∈N+);

⑤an+1−an=an−an−1(n≥2,n∈N+);

⑥an+1+an−1=2an(n≥2,n∈N+);

特别地当数列{an}的递推关系式为an+1−an=f(n)(n∈N+)时,该数列为非等差数列.

在本教学过程中的导学案编写采用了“概念性变式”教学的方法,通过“概念性变式练习A组”和“概念性变式练习B组”两组变式题目的练习,学生学会从不同的侧面或不同的角度刻画等差数列的概念,形成对等差数列本质多角度理解.等差数列概念的等价定义越多,说明等差数列的概念域越丰富,体现学生在头脑中形成良好的概念域和概念系.

(二)等差数列的通项公式的导学案编写

1.通过观察、归纳、证明的方法获得等差数列的通项公式.

(1)写出首项是2,公差是5的等差数列的前五项并猜想其通项公式;

(2)写出首项是a1,公差为d的等差数列的前五项并猜想其通项公式;

(3)请用严谨的数学方法证明(2)的结论.

2.等差数列通项公式的多角度理解—“概念性变式”教学

对等差数列通项公式的理解进行“,即从方程、函数、哲学等角度分析等差数列的通项公式.

(1)用方程眼光分析:等差数列的通项公式涉及到四个量a1、d、n、an,知三求一或通过知二求四;

(2)用函数的眼光分析:等差数列的通项公式涉及到四个量的取值范围,其中的a1、d、an可取任意实数,而n只可以取正整数;

(3)用哲学的眼光分析:等差数列的通项公式涉及到四个量中的a1、d是等差数列的基本量,等差数列中任何一项均可表达为首项与公差的关系.

3.等差数列通项公式的综合应用—“过程性变式”教学的导学案编写

3.1初步了解等差数列的通项公式,开始建立命题及命题域的关系–过程性变式练习A组

(1)已知等差数列11,8,5,2,···回答以下问题:

(I)写出等差数列的首项,公差以及通项公式;

(II)求等差数列的第20项;

(III)−286是不是等差数列的项?如果是,是第几项?

(2)已知等差数列的第10项为−17,第15项为−32,求此数列的通项公式.

(3)在等差数列{an}的前三项分别是a−1,2a+1,a+7,求an.

(4)某市出租车的记价标准为2.6元/km,起步价为10元,即最初的3km(不含3km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等待时间为0,需要支付多少车费?走多少路程以后,车费会超过30元?

_____________路程车费___0 k m-3 k____m 1 0元_____________4 k m 1 1.2元____________5 k m 1 2.4元_______________......______1__________4 k m?____

导学案的编写目的:本组变式练习题目设计的说明:第(2)题采用两种解法.

解法一:设此等差数列的首项为a1,公差为d,依题意解得所以an=a1+(n−1)d=10+(n−1)(−3)=−3n+13.解法一使用了基本量法,运用方程的思想求解未知量,巩固了等差数列通项公式的学习.

除此之外还丰富了等差数列公差d的三种计算方法:

①d=an−an−1;②d=

第(3)题是对等差数列等差中项性质的应用,从更高层次理解项与项之间的关系,更是理解无形中的公差d.这是对等差数列概念的一次升华,也是对等差数列通项公式的一次灵活运用.

第(4)题来源于教材例题,通过把生活实例提炼建立合适的数学模型,再应用等差数列的知识,强化学生对等差数列通项公式的理解,再一次让学生感受数学的问题从生活中来又回馈于生活.

这是通过“过程性变式”拓展了等差数列通项公式的命题域,对等差数列的概念及通项公式的更深一层的理解.

3.2进一步理解等差数列的概念,灵活运用等差数列的通项公式,逐步建立命题域–过程性变式练习B组

(1)已知{an}中,a1=2an+1=2an−1,求a100的值;

(2)设数列{an}满足a1=0且=1,求{an}的通项公式;

(3)已知数列{an}满足a1=1,an+1=求数列{an}的通项公式.

导学案编写的目的:本题组是区别与3.1过程性变式练习A组,必须先进行等差数列的定义证明才能使用等差数列通项公式解决问题.强调了数学的转化问题,构造新的等差数列,利用等差数列通项公式求解新的等差数列的通项公式,从而求数列{an}的通项公式.本题组帮助学生进一步理解等差数列的概念,灵活运用等差数列的通项公式,逐步建立等差数列通项公式相关的命题域.

3.3学生高层次运用等差数列的通项公式,延伸命题的深度–过程性变式练习C组

(1)在等差数列{an}中,已知a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在300到500之间?[7]

(2)在等差数列{an}中,已知a1=−24,从第10项起开始为正数,求公差的取值范围.

(3)等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第2,4,6,···,2n项,组成数列{bn},求数列{bn}的通项公式;

(4)等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,2,22,···,2n−1项,组成数列{bn},求数列{bn}的通项公式.[7]

导学案编写的目的:本组变式练习题目设计第(1)题和第(2)题是与等差数列通项公式与不等式关系的综合应用.第(3)题和第(4)题是应用结论:若{an}是公差为d的等差数列,则其子数列ak,ak+m,ak+2m,···(m∈N∗)也成等差数列,且公差为md,写出等差数列的子数列的通项公式.学生高层次运用等差数列的通项公式,延伸等差数列通项公式命题与命题域的深度.

3.4深刻理解等差数列的概念,熟练运用等差数列的通项公式,拓展命题域的宽度–过程性变式练习D组

(1)在等差数列{an}中,若a1+a4+a5+a6+a9=450,则a2+a8=____;

(2)在等差数列{an}中,若a3+a8=22,a6=7,则a5=____;

(3)在等差数列{an}中,若a3+a8=22,a6=7,则a1+a5+a11=___;

(4)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7+a10=21,a2+a5+a8+a11=9则a3+a6+a9+a12=____;

(5)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+···+a9=13,a28+a29+a30+···+a36=73,则a10+a11+a12+···+a18=___;

(6){an},{bn}都是等差数列,a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=____;[7]

导学案编写的目的:本组变式练习题目设计帮助学生深刻理解等差数列的概念,熟练运用等差数列的通项公式解决等差数列中某些项的求和问题,拓展命题域的宽度.

与本组题目相关的等差数列的性质如下:

①等差数列{an}中,若m+n=p+q,其中m,n,p,q∈N∗,则am+an=ap+aq(反之也成立);

②若m+n+r=p+q+s,其中m,n,r,p,q,s∈N∗,则一定有am+an+ar=ap+aq+as;

③若{an}是公差为d的等差数列,则数列前m项的和Sm、紧接着m项的和S2m−Sm、再紧接着m项的和S3m−S2m···仍成等差数列,且公差为m2d,即等差数列的等长连续片断的和组成等差数列;

④共有km项的有穷等差数列{an}中,a1+a1+k+a1+2k+···+a1+(m−1)k,a2+a2+k+a2+2k+···+a2+(m−1)k,···,ak+a2k+a3k+···+amk仍成等差数列,且公差为md;

⑤若{an}是公差为d的等差数列,则数列前m项的和Sm、紧接着m项的和S2m−Sm、再紧接着m项的和S3m−S2m···仍成等差数列,且公差为m2d,即等差数列的等长连续片断的和组成等差数列.

⑥共有km项的有穷等差数列{an}中,a1+a1+k+a1+2k+···+a1+(m−1)k,a2+a2+k+a2+2k+···+a2+(m−1)k,···,ak+a2k+a3k+···+amk仍成等差数列,且公差为md.

3.5梳理等差数列通项公式与等差数列前n项和的关系,逐步建立命题系–过程性变式练习E组

(1)若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和,即a1+an=a2+an−1=···=ak+an−k+1=···;则其前n项和Sn=____=___=___;

(2)若等差数列有n项,前三项和为34,末三项和为146,所有项之和为390,求项数n;

(3)已知等差数列{an}中,d=求a1及n.

导学案编写的目的:本组练习在D组练习基础上继续拓展到前n项和的应用,对等差数列的知识起承上启下的作用.构建等差数列通项公式与等差数列前n项和的关系,逐步建立命题系.

3.6梳理等差数列通项公式、一次多项式和一次函数函数命题域间的关系,进一步完善命题系–过程性变式练习F组

(1)若数列{an}的通项公式是an=2n−3,判断该数列是否等差数列,如果是,请求出公差;

(2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q(p、q是常数),那么这个数列是否一定是等差数列?若是,请求出首项与公差;

(3)请作出an=2n−3与y=2x−3的图像并进行比较.

(4)请说说等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q之间的关系.

______________________________________________________________________等差数列一次函数形式an=a1+(n−1)d=d·n+(a1−d)__________________________________________________________(n∈N+)形如an=pn+qy=px+q_图__________________________________________________像确定________________________________________________联　_系_系数______________________________________________________________________________________________________________性质

导学案编写的目的:本题组把等差数列的通项公式、一次多项式、一次函数,得到了等差数列的一种直观判断方法,并将等差数列知识与一次函数知识产生关联,对数列是一个特殊的函数作出更直观的诠释.这是梳理等差数列通项公式、一次多项式和一次函数函数命题域间的关系,进一步完善命题系,形成丰富而清晰的命题系.

三、教学反思

从概念性变式练习A组-C组到过程性变式练习A组-F组,“等差数列”导学案的第一部分编写中,笔者运用“概念性变式”教学策略的手法引导学生从初步了解、逐步拓展到延伸丰富等三个层次,构建等差数列的概念域与概念系.“等差数列”导学案的第二部分编写中,笔者先运用“概念性变式”教学策略,从方程的角度、函数的角度、代数与图形的角度等多维度构建等差数列通项公式的命题域,再运用“过程性变式”教学策略,构建出等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本应用、等差数列通项公式的灵活运用、等差数列的常用性质、等差数列的前n项和、等差数列与一次多项式、一次函数的关系等命题域和命题系,就如帮助学生在脑海理编织一张丰富而清晰的等差数列知识大网.最后,笔者让学生课后以课上发现、呈现的知识与问题为基础,进一步联想、推理、变化,以获得更多的知识与问题.这样,在“等差数列”的教学中,笔者帮助学生以等差数列的概念及通项公式为中心,建立了丰富而牢固的知识联系,导学案的编写中,通过“概念性变式”和“过程性变式”有效完善了学生的等差数列的概念域、概念系、命题域和命题系.笔者基于CPFS结构理论进行的《等差数列》导学案编写中,实现了“导之有方”,有效地提高了高中学生数学学习的效率.

[1]喻平.单墫《数学学习心理的CPFS结构理论》[J].数学教育学报,2003(1).

[2]曹瑞彬.《CPFS结构理论视域下的公式教学以“两角和与差的正切公式”为例》[J].教育研究与评论《中学教育教学》,2016(2).

[3]鲍红梅.《完善中学生CPFS结构的生长教学策略研究》[D].南京师范大学,2004年.

[4]王丽芝.在高三数学总复习中使用学案的教学实验研究[D].云南师范大学,2011年.

[5]覃倩.小议等差数列定义的教学设计[J].数学学习与研究,2010,(17):22-24.

[6]王晓颖.《等差数列》说课稿[J].考试周刊,2010,(30):76-77.

[7]薛金星.中学数学教材全解[M].北京教育出版社,2005:89-100.