立足原题,磨出精彩—一道“双曲线”压轴题的磨题过程

江苏省海门市东洲国际学校(226100)　蒋健

近期,笔者有幸参与九年级数学期末试卷审核工作,试卷的压轴题是一道以“双曲线”为载体的综合题.考虑到是全卷的压轴题,教研员建议我关注①问题的思维层次与相互关联;②学生的能力考查与试题的区分度;③试题蕴含的数学思想与数学方法等.旨在通过打磨呈现好题.现把磨题过程与同行交流、研讨.

第1稿如图1,双曲线y=经过点A(1,2),过点A作y轴的垂线,垂足为B,交双曲线y=−于点C.

图1

(1)求k的值;

(2)点P为双曲线y=上的一点,若△OAP为直角三角形,求点P的坐标;

(3)点Q为双曲线y=−上一点,且△OCQ的面积为,求点Q的坐标.

1　研读分析

1.问题设置关联性不强,有“拼”之嫌.如过点A作y轴的垂线,对于问题(2)(3)解决无实质意义,且(2)(3)问题独立,看不出有联系的迹象.

2.第(2)(3)问题计算繁琐,无“思”之向.如(2)(3)的解题过程中出现高次方程,运算要求高,不能体现多思简算.

3.第(2)(3)都涉及分类,有“泛”之感.虽然关注了数学思想的渗透,但在分类过程中涉及象限较多,显过分追求分类而无自然生长.

4.图形混合,指向不明,导致学生思维混乱,无“简”之美.在解决(2)(3)两问题过程中,需要在不同的分支来回考虑,不利用学生常态思维的发挥,不能很好的尊重学生的个体差异.

2　逐层推进

2.1　磨题干

思考1如何让过点A直线不是一种摆设?改变点P的出现方式,增加一条直线,平行于定直线,使点P是动直线与双曲线的交点,这样一来,两直线相得益彰,整体图形的呼应更紧密,体现数学之美.

第2稿双曲线y=经过点A(1,2),过点A作y轴的垂线,垂足为B,交双曲线y=−于点C,点M(0,m)为y轴上一动点,过点M作y轴的垂线,分别交双曲线y=−y=于点P、Q.

思考2完稿再读,题干的叙述显的还啰嗦拖沓,不够简洁.考虑到数据−6无特殊作用,及文字简明扼要,可以把一些条件作一隐含或作为分问题的已知,更能考察学生读题、审题的能力.

第3稿如图2,平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图像经过点A(1,2),反比例函数y=的图像经过点B(−4,2).

图2

2.2　磨问题

思考1根据题干中已知的点,可以求出k1、k2的值,思考O、A、B三点形成一种默契.

第4稿(1)作射线OA、OB.求证:OA⊥OB;

思考2在原问题(2)的解决过程中,过点M(0,m)的动直线在x上方时,△OAP为直角三角形是明显不成立的,同时还需考虑m̸=0,设想直接给出m的范围,让学生自我画图简捷,问题突破更易.

第5稿(2)若m＜0,连接OA、OP、AP,若△OAP为直角三角形,求点P的坐标;

思考3为了进一步让原题(2)(3)有一定的联系,思考过M点的动直线,在运动过程中如何与过A点的定直线产生探究的味道?动直线在y轴负半轴平移过程中,两直线与两反比例函数图象的四个交点,可以形成平行四边形.此时S△OCQ与S△OAP相等,联想特殊到一般,可以产生不等情况,让学生比较相关三角形的面积大小,使问题具有一定的区分度.这样既保留了原有第(3)问对于面积的考察,又能使试题的立意更新,让答题思路在需要预测、需要直觉、需要转换视角中产生,提升了学生的思维品质.同时考虑问题(2)形成主线串联,限定m的取值,体现“内敛藏锋”的命题取向,形成终稿.

第6稿(2)设直线y=m(m＜0)分别交曲线y=于点Q、P.①连接OA、OP、AP,若△OAP为直角三角形,求点P坐标;②分析△OBQ与△OAP面积大小.

终稿如图3,平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图像经过点A(1,2),反比例函数的图像经过点B(−4,2).

图3

(1)作射线OA、OB.求证:OA⊥OB;

(2)设直线y=m(m＜0)分别交曲线y=于点Q、P.①连接OA、OP、AP,若△OAP为直角三角形,求点P坐标;②分析△OBQ与△OAP面积大小.

2.3　解法呈现

解(1)OA解析式:y=2x,OB解析式:y=可证OA⊥OB;

(2)①分两种情况,如图3OP1解析式:y=联列,解之得x=±4,因为m＜0,所以点P1(4,−2).同理可得综上,P1(4,−2),P2

②如图4,当m=−2时,四边形ABQP为平行四边形,此时S△OBQ=S△OAP;当m＜−2,此时S△OBQ＞S△OAP;当−2＜m＜0,此时S△OBQ＜S△OAP.

图4

3　磨题感悟

磨题是艺术,对于磨题的过程,如何让试题有较宽的思维入口与较好的试题梯度?如何让试题能呈现通式、通法?如何让学生有多角度思考、有多策略选择?值得我们每个教师在磨题过程中善于换位思考,从学生的角度出发,自我否定、“自以为非”.如本题第(1)问,问题设置起点低,方法多样,学生容易上手,第(2)①问注重与问题(1)解决方法的联系,同时渗透数学思想方法的考察.问题②设置新颖,具有区分度,体现选拔功能.总之,三个设问层次分明,相辅相成,各问设计环环相扣,解答过程步步深入,转化、分类、特殊到一般等数学思想尽显其中.

磨题出新颜,体现三大基性①引导性,前一个问题是后一个问题的基础与铺垫,前一个问题的解题思路对后一个问题的解决有一定的引导作用;②层次性,即思维是逐步深入的,学生“入手”容易,“收手”难.③策略性,问题的解决,思维入口宽,可以从不同的角度寻找与筛选出最佳路线.纵观以上,可以体现《义务教育数学课程标准(2011版)》中“不同学生可以达到不同的层次,收获不同的体验”.