正态分布的随机变量独立与不相关问题研究

刘 洋,陶庭婷

滁州学院数学与金融学院,安徽 滁州 239000

二维正态分布，也可以称为二维高斯分布，在数学、物理以及工程领域都有非常广泛的应用，在很多涉及到统计科学离散分布的领域都发挥着非常重大的影响力，例如在图像处理中最为常见的应用即滤波器。经常有人错误的认为：两个正态随机变量的不相关性与独立性是一致的，并因此造成理论推导上的错误。所以，研究正态分布随机变量的独立与不相关问题就更加重要。

假设两个随机变量X和Y，二者相互独立，则必然不相关，如果X和Y为不相关的关系，那么二者不一定相互独立[1,2]。本文证明若两个随机变量服从正态分布，但是二者的联合分布不一定服从正态分布。

假设随机变量X和Y的联合分布服从二维正态分布，则(X，Y）联合概率密度可以表示为式（1）：

上式中，σ1、σ2、μ1、μ2、ρ均为常数，并且σ1＞0、σ2＞0，-1＜ρ＜1，满足上式的函数即称为(X，Y）服从二维正态分布，将(X，Y）记作是(X,Y)～(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)。按照二维正态分布函数的基本性质，可以推导出二维正态分布的两个边缘分布服从一维正态分布，边缘分布可以分别表示为（2）和（3）。

1 问题

（一）假设随机变量X和Y都服从正态分布，讨论X和Y联合概率分布是否服从二维的正态分布[3,4]？

按照二维正态分布随机变量的基本性质，假设两个随机变量X和Y，二者相互独立，则必然不相关，若X和Y互相不相关，则不一定相互独立。

（二）假设随机变量X和Y都服从正态分布，且X和Y不相关，那么是否一定能够得出X和Y相互独立？

2 讨论

实例1：

随机变量X～N(0,1)，随机变量Y的分布概率可以表示为：

随机变量X和Y相互独立，设随机变量Z可以表示为Z=XY，求证：

问题1：Z～N(0,1);

问题2：证明联合分布(X,Z)不服从二维正态分布;

问题3：X,Z之间不相关，但是X,Z并不是相互独立。

证明过程：

问题1：假设FZ(Z)表示Z的分布函数，那么可以得出以下结论：

进而得出Z～N(0,1)的结论。

问题2：

根据上述结论P{X+Z=0}=1/2，因此X+Z为非连续型的随机变量，故X+Z不服从一维正态分布。利用反证法证明(X,Z)不服从二维正态分布。若(X,Z)服从二维正态分布，那么通过（2）和（3）推理可知，随机变量X,Z均服从一维正态分布，则可以得出X+Z必然是连续型随机变量，则(X,Z)不服从二维正态分布。

问题3：根据假设条件，可知E(X)=0，E(Y)=0。同时已知X和Y相互独立，则可以将X,Z的协方差表示为式（4）：

由此可知，X，Z不相关。

利用反证法证明X，Z不相互独立：假设已经X，Z相互独立，那么Z～N(0,1)，X～N(0，1)，所以X，Z的联合分布必然服从二维正态分布，与验证的结论2相互矛盾，由此可证X，Z不相互独立。

实例 2：假设随机变量求证：

问题1：Y～N(0，1);

问题2：随机变量(X,Y)并不服从二维正态分布；

问题3：X和Y不相关，但是X和Y为相互独立关系。

证明过程：

问题1：第一步是求得Y的分布函数，然后根据取值范围的不同分别讨论。

如果y取值范围是y＜a，P{Y≤y}=P{X≤y}=Φ(y)；

如果y取值范围是则

如果y取值范围是y＞a，则

综上所述，存在x∈R，P{Y≤y}=Φ(y)成立，则Y～N(0,1)。

问题2：且不等于零。已知连续型随机变量的单点概率为0，则可以得出Z=X-Y不是连续型，Z=X-Y不服从正态分布，那么可证(X,Y)不服从二维正态分布。

问题3：根据X和Y的分布情况，可知

则Cov(X,Y)=0，有此可知X和Y不相关。

根据反证法证明X和Y不相互独立：假设X和Y相互独立，那么X～N(0,1)，Y～N(0,1)，由此可以推导出(X,Y)的联合概率分布一定服从正态分布。这一结论与上文中既定的结论相互矛盾，因此证明X和Y为非独立关系。

3 结论

据对实例1和2的推导，可以得出以下结论：第一，两个服从一维正态分布的随机变量，其联合概率分布并不一定服从正态分布；如果两个一维正态分布随机变量不相关，二者不一定相互独立；如果两个服从一维正态分布的随机变量互不相关，那么二者的联合概率分布不一定服从正态分布。

[1]康建梅,刘丽华.二维随机变量正态分布的独立性[J].内蒙古师范大学学报：教育科学版,2003(16)：114-115

[2]茆诗松.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社,2011

[3]王蓉华,顾蓓青,徐晓岭.概率论中的几个典型反例的进一步研究[J].河南教育学院学报,2016(25)：1-5

[4]宋明娟,朱思宇.随机变量变换分布的若干推论及应用[J].大学数学,2012(28)：96-97