借助意义教学促进有效建模

朱子健

[摘 要]模型思想是数学课程标准修订过程中新增加的一个核心词。以“乘法分配律”一课为例，谈谈如何借助意义教学来实现有效建模，让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

[关键词]数学建模；意义教学；乘法分配律

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0020-02

人教版教材第八册中的“乘法分配律”教学内容一直以来都是小学数学教学中的一个难点，学生学习的成效会直接影响后续的学习。常见的教学流程为“给出一个问题背景→强调从计算人手→急于比较、研究→引导观察→过早地给出结论→得出乘法分配律→机械式地套用→利用练习巩固知识”。在这个教学过程中，学生通过记忆和重复练习来建立数学模型，但不知道为什么乘法分配律会成立，对乘法分配律的意义理解不透。这并不利于学生掌握知识的本质，还会导致学生运用乘法分配律时经常出现这样的错误：第一个加数乘上乘数后，就直接加上另一个加数，另一个加数没有乘上乘数，就完成计算了。如 （8+7）×125=8×125+7，错误的根本原因是对“乘法分配律”的意义理解不够深刻。

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：“让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”因此，我提出意义建模法：强调从乘法的意义人手，引导学生深刻理解为什么乘法分配律会成立，从而帮助学生掌握知识，从而建立数学模型。而数学建模通常以“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”的基本形式展开。

一、运用几何直观，数形结合充分感知模型

课程标准强调数学教学要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。因此，教师首先要引导学生从生活原型中提炼出数学模型，并在初步感知模型的基础上，逐步建构模型。

【教学片段1】

师：春装校服75元一套。小刘家买了2 套，小李家买了3套。他们两家一共要付多少元？

生1：75×2+75×3=150+225=375（元）。

师：75×2与75×3分别算出的是什么？为什么用乘法计算？（学生回答略）

师：如果说75×（2+3）=75×5=375（元），（2+3）算出的5是什么？75×5表示什么？

生2：表示5個75相加的和是多少。

师：通过计算你们发现了什么？

生3：75×（2+3）=75×2+75×3。

师：如果不计算，你能说明75×（2+3）与75×2+75×3相等吗？

生4：等式左边表示5个75相加，等式右边表示2个75加上3个75，都是5个75相加。

学生已经学习了乘法的基础知识，知道用乘法可以求几个相同加数的和。基于本节课数学建模的需要，复习乘法的意义也就成为学习乘法分配律的立足点与起点。在新旧知识的连接点上开拓学生的思维，使新知的教学起点与学生已有的旧知紧密相连，就能使新知成为旧知的自然延伸、发展，做到环环紧扣、步步递进，把知识串成一条知识线，帮助学生掌握知识整体。

【教学片段2】

师：结合下图，与同桌说说等式（6+4）×3=6×3+4×3为什么会成立。

生：图的左边可以理解为10个3相加，图的右边分别是6个3相加和4个3相加，也就是10个3相加，所以（6+4）×3=6×3+4×3。

为了顺应中年级学生的思维特点，小学数学的建模教学应当充分运用这种几何直观教学法。学生已经熟练掌握长方形的面积计算方法，只要图式结合，算理就一目了然。在学生思考的过程中，教师要注意并重视培养学生在表达和交流过程中语言描述的能力，为学生总结乘法分配律做好铺垫。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，形与数往往是联系在一起的，因此，数与形之间存在着本质的联系。在教学过程中，教师要强调乘法的意义，并以这种数形结合的方式生动形象地帮助学生解释“乘法分配律”的本质意义，这样不仅能为后面的模型应用做足准备，也有助于学生形成数学建模思想。

二、意义教学，抽象并建构模型

初步感知模型后，教师要提供更多类似的、系列的学习材料来为学生进一步感悟模型做铺垫，并给予学生足够的思考时间，让学生在举例子的过程中一步一步地将发现的规律准确地加以描述和归纳，最终建立数学模型。

【教学片段3】

1.观察等式，探索规律

师（在学生完成题目后）：观察这几组等式，你有什么发现？

师（引导学生观察左右两边算式的特点）：左边的算式都是两个数的和与一个数相乘；右边的算式都是这两个数与这个数分别相乘，再相加；左右两边的计算结果相等。

2.举例验证，归纳规律

师：这个计算规律是否在哪里都成立呢？我们能不能再举些类似的例子来验证一下？请同桌之间互相说一说。

生1：我举的例子是（4+5）×15=4×15+5×15。

师：这个式子的左右两边分别表示什么？

生1：左边表示9个15的和；右边表示4个15的和，加上5个15的和。

生2：我举的例子是（5+3）×6=5×6+3×6。

师：请你解释一下。

生2：左边表示8个6的和，右边是5个6与3个6的和。8个6的和等于5个6与3个6的和。

生3：（20+10）×3=20×3+10×3。

师：请你解释一下。

生3：左边是30个3相加；右边是20个3相加，再加上10个3相加，加起来就是30个3相加。

师：同学们举了不同的例子来验证我们的发现，看来这个计算规律是成立的。这个计算规律在数学中就叫作“乘法分配律”。如果别人问你，什么叫“乘法分配律”，你该怎样告诉他呢？能用自己的语言描述这个规律吗？

生5：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与那个数相乘，再相加。

师：把“那个数”改为——“这个数”。

（教师让学生独立思考：（▲+█）×●=？师生共同抽象出数学模型：（▲+█）×●=▲×●+█×●；在肯定了学生或不太严谨，或不太全面的回答之后，师生共同归纳乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。最后，请学生把课本翻到26页，读一读这个规律，并在读的过程中体会规律。）

3.交流总结，表示规律

师：用数学的语言——数学符号来表示规律，得出“乘法分配律”的字母公式“ （a+b）×c=a×c+b×c”。

数学表象是对客观事物从形式或结构等方面概括而得到的观念性表象，图式表象是其中的一种类型。乘法分配律的图式表象是（▲+█）×●=▲×●+█×●的模式形象。学生在初步感知计算规律的状态下，通过观察、比较，发现规律，并尝试用自己的语言描述规律，最后用数学的语言简化规律，归纳出“乘法分配律”的字母公式。这种语言的描述就是尝试着将数学的实际规律抽象化，就是建立数学模型的过程，这是数学建模最为艰难也是最为关键的一步。要较好地完成这一步，在数学建模过程中，教师应当不失时机地让那些有能力的学生尝试用符号语言建构和表达模型。

三、解决问题，解释并应用模型

在乘法分配律这一数学模型的具体运用过程中，有相当多的学生在从a×c+b×c=（a + b）×c过渡到 （a + b）×c= a×c+b×c的过程中存在障碍，只能停留在a个c加b个c等于（a + b）个c的模型中，缺乏对乘法分配律这一数学模型逆向运用的一种直观的感知和深度的理解。因此，如何帮助学生顺利实现这一过渡，尤为重要。加强练习，强化乘法意义的理解，内化模型，是实现有效建模的途径。

1.基本练习：根据乘法分配律，填上适当的数。

（12+40）×3= ×3+ ×3

15×（40+8） = 15 × +15×

35×69 + 35×31=（ + ）×35

2.辨析练习：判断对错。

56×（19+28） = 56×19 + 28（ ）

32×（7×3） = 32×7 + 32×3（ ）

64×64+ 36×64 =（64+ 36）×64 （ ）

3.完成课本第26页第2题，用竖式计算25×12= ？观察竖式，说说在计算过程中运用了什么运算定律。

（板书： 25×12=25×（2+10）=25×2+25×10=50+250=300）

数学学习可以分为机械学习与有意义学习，而有意义学习要靠理解。意义建模法强调从乘法的意义入手， 在“生活数学”与“学科数学”之间搭建桥梁，引导學生从生活原型中提炼出数学模型，以数形结合的方式生动形象地帮助学生准确把握运算律的本质及其教学价值，强化乘法分配律的本质意义。这样，不仅有利于提高相关教学活动的针对性和有效性，而且有利于学生对“乘法分配律”这个知识点的意义的建构，感悟蕴含在运算律知识及相关学习活动过程中的基本数学思想。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 汪绳祖主编.小学数学教育学（1997 年11月第1版）[M].北京：高等教育出版社，1997.8.

[2] 曹培英.数学课程标准核心词的实践解读之八-模型思想（上）[J].小学数学教师，2014（12）.

[ 3] 曹培英.数学课程标准核心词的实践解读之八-模型思想（下）[J].小学数学教师，2015（2）.

（责编 金 铃）