解决问题教学中数量关系运用的实践研究

罗白春

[摘 要]“问题解决”是小学数学教学的重要目标之一。多数教师在解决问题教学中过多关注对问题信息的收集和整理，而忽视对数量关系的运用，从而导致学生无法进行有效思考，缺乏过程与方法的体验，不能正确形成解题策略。在解决问题教学中，教师应加强对数量关系的运用，从构建数量关系到活用数量关系，不断提升学生的思维能力。

[关键词]解决问题；数量关系；小学数学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0059-02

随着课程改革的不断推进，教师对解决问题教学也随之产生了许多困惑，其中如何运用数量关系便是数学解决问题教学中最大的困惑。数量关系是解决数学问题的基础和关键。在解决数学问题时，首先需要让学生了解题意，明确题目给出的条件与要解决的问题，明确条件与条件之间存在的关系，这样才能有效解决问题，提高解题效率。对此，在教学中教师应加强数量关系运用的教学，引导学生对问题进行归纳和总结，学会灵活运用数量关系，从而不断培养学生构建数量关系的能力，提升学生的思维能力。

一、明确解决问题的结构，巩固数量关系知识

两步解决问题教学是解决问题体系的关键，明确两步解决问题的结构，有助于学生在解决问题的过程中厘清数量关系，为解决更复杂的问题与解决策略的多样化打下坚实基础。加强两步解决问题的训练，能使学生在掌握两步解决问题的结构的基础上，学会解决更复杂的数学问题。

首先，出示两道具有联系的一步问题，在学生一一解决后再要求他们将两道题合并为一道题，然后观察两组题型之间的联系与区别。

例如，对于题目“李老师带来了18个苹果分给3个学生，已经分了6个，剩下的每人还能分到几个？”，教师可以采取两步解决问题的方法，先给学生出示一步问题“李老师带来了18个苹果分给3个学生，分了6个，还剩几个？”，再为学生出示“苹果还剩下12个，分给3个学生，每人还能分到几个？”，将一个数学问题分为两道题，降低了原题的难度，有助于学生厘清解题思路，更好地掌握解决问题的方法。

其次，在學生认识两步解决问题的方法的基础上，训练学生将一步解决问题中的一个信息扩展改编为两个信息，指导学生将问题的直接条件转变为间接条件，这样不仅能使学生了解两步解决问题的方法是由一步解决问题的直接条件转变而来的，而且能为学生分析更复杂的问题打下坚实的基础，提升学生学习数学的能力。

例如，在教学加法问题时，对于题目“班上男生人数为24人，女生人数为72人，求班上一共有多少人？”，教师可将题目的信息扩展为“班上男生人数为24人，女生人数是男生人数的2倍，求班上一共有多少人？”。通过将一步问题改编为两步问题，并在学生理解的范围内设置问题，可使学生了解数学问题的本质，促进学生思维能力的发展。

最后，帮助学生对数学问题进行缩题改编，让其找到中间问题，并将中间问题进行转换，将两步问题转化为一步问题。教师可对学生提出要求：题目的条件不变，改变问题内容，将两步问题缩题改编为一步问题；题目条件改变，问题内容不变，将两步问题缩题改编为一步问题。之后，让学生对题目的不同点与相同点进行表述。通过该训练，能让学生学会将间接条件变为直接条件，将两步问题变为一步问题，让学生清楚地认识到中间问题的铺垫作用。

在以上策略的引导下，及在学生积累了一定的基础数量关系后，教师可对某个专题进行跟踪研究，指导学生运用方程法解决问题。在专题研究的过程中，学生能够更好地选取相应的策略方法，并运用数量关系解决问题。

例如，在教学购票的相关知识后，教师可为学生出示两种购票方案“方案一，成人票120元/人，儿童票50元/人；方案二，团体6人以上（含6人），票价100元/人。”并为学生出示问题：成人有5人，儿童有3人，怎样购票比较省钱？或成人有3人，儿童有5人，怎样购票比较省钱？学生在思考问题时，需要针对人数的变化选取相应的解题方案，在这一过程中，学生的发散性思维得到了很好的培养。

二、整合与构建数学模型，活用数量关系

学生在了解与认识两步解决问题的结构后，也积累了许多常见的基本数量关系，在此基础上教师可引导学生将这些数量关系整合为一组数量关系，再由此拓展为结构相似的多组数量关系，形成数量关系群。在构建好数量关系群的基础上，教师应帮助学生通过比较、整合等方法构建相应的数学模型。这样，不仅能让学生了解数量关系群的本质，并且还能让学生抓住数量关系的本质，把握数学模型的构建方法，真正实现了对数量关系的灵活运用。

例如，在教学“速度、时间和路程”的相关知识后，教师可针对数量、总量和单价的数量关系与工作时间、效率和总量的数量关系，为学生设计两种类型的问题，让学生自主解决。因为学生对数量关系有一定的了解，所以他们能够轻易地归纳出两组数量的关系，之后再引导学生对三组数量关系进行归纳与总结，学生就能在表述与比较中概括出：单价、速度以及工作效率为“每份数”，数量、时间以及工作时间为“份数”，而总价、工作总量以及路程为“总数”，这三组数量关系为份总关系。这样，在延伸与分析中，学生完整构建了数学模型。在教师的引领下，学生从掌握一个数量关系到掌握一群数量关系，并从中找到数量关系的本质内涵。

在上述教学的基础上，教师应让学生通过对比、分析解法的练习，防止学生在解决问题中形成定式思维，帮助学生正确运用数量关系，构建数学模型，掌握多样化的解决策略。

例如，教师可出示问题“甲学生有4支铅笔，乙学生的铅笔比甲学生的2倍少2支，那么乙学生有多少支铅笔？”和“甲学生有4支铅笔，比乙学生的铅笔的2倍少2支，那么乙学生有多少支铅笔？”，小学生较容易形成定式思维，他们往往看到题目有“少”就减，有“多”就加，对此教师应该采取有效的方法，打破学生的定式思维，让学生正确理解数量关系，并通过画图的方法整理信息，对关键句进行详细的分析，通过对比线段图表述与文字表述方法的异同，在数形结合的方法中真正掌握数量关系。最后，让学生对两组题目的解法与结构进行比较，体会该问题运用列方程的方法更佳。

三、表述解题思路，培养思维能力

在教学中，教师应引导学生对问题的思考过程进行表述，也就是让学生表述解题思路，学生表述的过程就是形成抽象数量关系的过程。学生在表述过程中可以采用画线段图、口述、文字表述等手段，分析问题的数量关系，从而构建数学模型，有效解决问题。

引导学生画线段图表述解题思路，呈现数量关系。在学生画线段图表述解题思路时，教师需要积极帮助学生梳理信息，为其做好画线段图示范，帮助学生了解画线段图与梳理条件的方法，并体会线段图对表述解题思路的好处。经过长时间的训练后，学生能够利用画线段图的方法整合条件，将解决问题的本质直观呈现出来，此时，教师需要及时让学生厘清是运用哪两个数量画出线段图的，能够求出什么数量。

例如，在教学运用乘法解决问题的相关内容时，教师可为学生出示题目“小明买5个蛋糕，花了20元，买10个这样的蛋糕，一共需要多少钱？”然后让学生画线段图表述题目的意思。学生通过自主表达题意，更好地梳理了题目中的数量关系，为理解数量关系奠定了基础。

有了画图的基础，学生在写解题思路时能更好地梳理数量关系。在開始阶段，为帮助有困难的学生找到数量关系，需要引导他们找到数量关系的关系句，将关系句划分清楚，在明确两个数量之间的关系后，再将其转化成数量关系式，为构建数量关系打下基础。表述解题思路对于学习分数应用题十分重要，通过写解题思路可让学生对所学知识进行融会贯通，并为解决问题清扫障碍。

例如，在低年级的学习过程中，教师可要求学生通过画图的方法写出问题“男生人数比女生人数多5人”的数量关系式，再到高年级学习分数应用题“男生人数比女生人数多1/4”时写出关系式，在此基础上学生就能联想到“男生人数是女生人数的5/4”“女生人数是男生人数的4/5”等数量关系，根据此信息能让学生更好地写出解题思路，提升学生的解题效率。

让学生口述题目中的已知条件，检查学生是否弄懂相关的条件，是梳理问题与条件之间关系的重要过程。学生在教师的引导中能说出解题思路，通过一段时间的训练后能流畅地运用分析法说明解题思路。

例如，在教学归总问题时，教师可根据学生已有的归总问题基础，帮助学生搭建有效思考问题的桥梁，为学生分析数量关系与解决问题打下基础。

综上，教师需要积极引导学生回顾自身解题的思路与过程，并加强反思训练，从而有效培养学生的思维能力。

例如，在教学“梯形的面积”后，教师给学生出示问题“现在要对合唱表演的队形进行设计，第一排站6个人，每排人数多2人，一共排成5排，那么这个合唱队的人数一共有几人？”学生对问题进行自主思考后，对这个合唱队形与算式有怎样的发现呢？学生通过对梯形面积的知识进行反思，发现这个问题能够运用梯形面积公式的原理得出，有效巩固了梯形面积的数量关系与计算公式。解决问题的方式与数量关系有着密不可分的联系，教师需要采取多样化的策略进行有机渗透，引导学生对数量关系进行构建，不断提升学生的思维能力。

总之，对数量关系的理解与运用是小学数学解决问题教学的重点内容，教师在引导学生运用数量关系解决问题时，需要引导学生运用已学的知识解决问题，强化数学知识的实用性，并且还要重视学生构建数量关系的过程，不断提升学生的解决问题能力，培养学生的思维能力。

（责编 黄春香）