GeoGebra在高中数学中的应用实例

高长乐 张东海

GeoGebra (超级画板）是一个结合几何、代数与微积分的动态数学软件，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的。 一方面来说，GeoGebra 是一个动态的几何软件，可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，甚至是函数，事后你还可以改变它们的属性。另一方面来说，也可以直接输入方程和点坐标。所以，GeoGebra 也有处理变数的能力（这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标），它也可以对函数作微分与积分，找出方程的根或计算函数的极大极小值。所以 GeoGebra 同时具有处理代数与几何的功能，因此 GeoGebra 视窗左边有一个代数区，右边有一个几何区（也称为绘图区），如图1所示。

空间几何体的内切、外接球是高中数学的一个重点，由几何画板制作课件需要用函数模拟球面，制作过程复杂，演示效果差。由GeoGebra制作的课件，制作过程简单，演示效果好，仅以此例向大家展示GeoGebra的操作过程及条件结构的运用。

操作过程

1.打开软件，打开3D绘图区，在指令栏输入“正六面体( (1,1,-1),(-1,1,-1) )”即可得到正方体，其中括号及坐标都在英文状态下输入，括号内坐标可调。

图1 GeoGebra操作界面

图2 正六面体示意图

图3 构造滑动条

2.找到工具栏的第二个按钮，也就是描点按钮，在该按钮的下拉框中点击交点按钮，根据需要点击某两条棱，制造交点，根据需要点击交点，在属性中修改名称、大小、颜色等，在代数区按住shift键全选侧面及底面，根据需要修改颜色及透明度。

3.在指令栏输入“正四面体( A，B1，C )”即可得到正四面体。其中，括号要在英文状态下输入，输入不同的点会得到不同的四面体。要注意输入点的顺序，得到正四面体后，可在左侧代数区隐藏多余的点，点击该点前方的蓝色圆点使其变白即可，点击代数区“三角形”即可选中正四面体的所有侧面，可根据需要修改颜色及透明度。如图2所示。

4.在工具栏中点击文本按钮，即倒数第二个按钮，在3D绘图区空白处点击即可出现文本框，在编辑栏中输入R1=，然后在数学式按钮中选下拉菜单中的根式与分式按钮，选中其中的把a替换为根式与分式按钮中的按钮，把x替换为3，再把b替换为3，即完成了文本的构造。同理，构造文本“R2=1”，其中，R1是球内切于正四面体时的半径，R2是球内切于正方体时的半径，R3是球内切于正方体的棱时的半径，R4是正方体外接球的半径。

5.在绘图区中构造滑动条，首先在工具栏的倒数第二个，即文本工具中选中滑动条按钮，在绘图区中单击，在滑动条对话框中将滑动条命名为k，最小值为1，最大值为4，增量为1。如图3所示。

滑动条k的作用主要是作为控制球的半径的阀门，为条件结构的应用做好准备。

图4 k取不同的值时球与正方体的关系图

6.构造球面上的点R，在指令栏输入“点R=(如果k≤1，k*R1，如果((k≤2，(k-1)*R2，如果(k≤3，(k-2)*R3，(k-3)*R4))，0，0)”，该命令主要是为了使用条件结构构造某个受滑动条k控制的点R，命令中的括号必须在英文状态下输入。

7.构造球心点O，在指令栏输入“点O=(0，0，0)”，即可得到球心点O。

8.构造球面，点击3D绘图区，在界面上方弹出的新工具栏中选择倒数第四个工具即球面工具，在下拉框中选择“球心与一点”工具，在绘图区单击点O后点击点R即可构造球面。在左侧的代数区中，点击点O和点R前方的蓝点使其变为白色，则这两点实现了隐藏。

使用方法

用鼠标拖动滑动条，令k=1，则球内切与正四面体；令k=2，则球内切与正方体；令k=3，则球内切与正方体的棱；令k=4，则球是正方体的外接球。演示时，可随时点击3D绘图区的旋转按钮，从多个角度进行观察。如图4所示。

制作本课件的意义

在课堂上使用此课件能让学生更直观地感受空间几何体与球的位置关系，更方便地计算空间几何体的棱长与球的半径之间的比例关系，真正体现多媒体教学的优势。希望能对广大一线同仁有所启迪。

[1]GeoGebra官方网站[DB/OL]. http://www.GeoGebra.org.

[2]阿寿工坊GeoGebra工作室，官长寿，宜兰县罗东高中[DB/OL]. http://140.111.115.8/longlife/GeoGebra/index.htm.