基于光纤中光孤子传输模型方程的求解和分析

方晓静，房少梅*

（华南农业大学数学系，广东广州510642）

近年来，光纤技术成为通讯行业的主流。光纤在非线性效应下具备很好的孤子［1-4］特性，在无损耗的理想状态下，光纤传输中的光脉冲形成光孤子。光纤通信的发展，促使众多研究者从孤子层面上探讨不同的系统，其中光孤子传输是必不可少的问题之一。目前，由光纤通讯中形成的光孤子通信取得了飞跃进展，其中在等离子物理学、流体力学和非线性光学等方面的应用［5］尤为广泛。

目前，光孤子传输问题在光纤放大器中得到了充分研究。在光孤子传输路线中设置光隔离器、路线放大器等器件，获得光孤子传输模型方程，通过分析和求解方程，对光孤子的传输情况进行探究。Berge和Sulem等［6-7］在研究中发现，非线性光学的自陷现象、二维定态平面波中的自聚焦和等离子体中的Langnui波等非线性波动现象［8］，在相应条件下，都能够用非线性Schrödinger方程来描述［9-11］。在非线性光学领域，非线性Schrödinger方程用于刻画光孤子在单模光纤中的传输，其形态特性在远距离的传输中仍保持不变，这在理论和实验上都获得了证明。1983年，郭柏灵［12-13］证明了非线性Schrödinger方程解的存在唯一性，并对一类KDV非线性Schrödinger组合微分方程组的整体解进行了论证，同时一并证明了一类具波动算子的非线性Schrödinger方程初边值问题解的存在唯一性。更有研究者应用动力系统的理论方法，得到了方程指定形式的显式精确孤立波解。随着基础数学的发展，非线性演化方程的求解方法层出不穷，对光孤子传输中模型方程的研究不断深入，更具体地体现出了其传输本质。

本文基于非线性效应下光纤中孤子传播的模型方程——非线性Schrödinger方程和数学理论方法，用（G'/G，1/G）展开法［14-20］对光纤中的光孤子传播模型方程进行行波变化分析，求解并获得了Schrödinger方程丰富的显式精确解，该解能够描述电信光孤子的传输运动情况。这种求得精确解的方法为现代迅速发展的光电通信技术中涵盖的一类非线性演变方程的求解提供了一种新思路。

1 （G'/G，1/G）展开法的基本公式

考虑如下二阶线性常微分方程

根据线性常系数常微分方程解的结构理论和求解方法，得到二阶线性常微分方程（1）的通解，根据参数 λ，μ 的不同取值范围，有 λ＜0，λ＞0，λ=0 三种情况的通解。结合（G'/G，1/G）展开法中 ø，ψ 的等式关系，得到方程的解。

2 物理模型方程的求解与分析

光纤通讯中的光孤子传输，不同的情况下，可根据设备条件用不同的非线性数学物理方程来表示，其中对于在无损耗的理想状态下，非线性Schrödinger方程是非常经典的一种。下面考虑如下一般形式的 Schrödinger方程

作行波变换，得

基于光纤的传播波形理论分析，φ（ξ）表示振幅，k表示波数，ω表示圆频率，c表示波速。因此方程转化为

一般地，φ为实函数形式，所以φ'前面的复系数2kα-c等于0，即c=2kα，则方程可简化为

通过平衡方程的最高阶导数项φ''和最高次项φ3，即N+2=3N，N=1。

方程有形式解为

将形式解（7）带入方程（6）中，得到：

第1种情况：当λ＜0时，结合ø，ψ的关系式，可得到以下非线性代数方程组

利用Maple软件计算得到：

当 k1＜0（or＞0），k2＞0（or＜0）时，有

当 k1＞0，k2＜0 时，有

当 k1＜0，k2＞0（or＜0）时，有

定理 1 （1）当（ω-αk2）β＜0 时，有

（2）当 αβ＜0，α（ω-αk2）＞0 时，有

（3）当 β（A12-A22）（ω-αk2）＞0，α（ω-αk2）＜0 时，有

对于上述（1）中，特别地，当取 k=1，α=1，c=2αk=2，β=1，ω=2 时，其特解为

此时，解仅有常数项，即没有实际的物理意义，图1为一种指数形式的解。

对于上述（2）中，特别地，当取 k=0.001，α=1，c=2αk=0.002，β=-1，ω=0.001，A1=1，A2=0 时，其特解为

所给出的是不传播光孤子［21］，图2是亮-暗脉冲光孤子，物理量u随时域扩展成脉冲，且脉冲的宽度与ω有关。

图1 式（14）利用式（11）得到的指数解

图2 式（15）利用式（12）得到的不传播光孤子

对于上述（3）中，特别地，当取 k=1，α=1，c=2αk=2，ω=2，β=-1，A1=0，A2=1 时，其特解为

图3表示光纤中的时间光孤子［22］在传播过程中，因为介质的色散，使得短脉冲在时域展宽，但同时也由于介质的非线性效应，脉冲随之变窄。当色散与非线性效应两者充分平衡时，短脉冲则会保持原来的形状在光纤中继续传播。

图3 式（16）利用式（13）得到的孤波解

第2种情况：当λ＞0时，结合ø，ψ的关系式，同理，即可得到非线性代数方程组，并借助Maple软件求解得到：

当 k1＜0（or＞0），k2＞0（or＜0）时，有

当 k1＜0，k2＜0 时，有

当 k1＞0，k2＞0（or＜0）时，有

定理 2 （1）当 β（ω-αk2）＜0 时，有

（2）当 β（ω-αk2）＞0，α（ω-αk2）＞0 时，有

（3）当 β（ω-αk2）＜0，α（ω-αk2）＞0 时，有

对于上述（1），特别地，适当调节各个参数的值，那么就有类似第1种情况的第1类精确解的情形。

对于上述（2），特别地，当取 k=1，α=1，c=2αk=2，ω=2，β=1，A1=0，A2=1 时，其特解为

图4表示一个相同振幅、频率传播脉冲光孤子［22］的模型，如果是两个等振幅、同频率的亮、暗两种光孤子相遇时，能量就会相互抵消，作用后的振幅变为零。

对于上述（3），特别地，当取 k=1，α=-1，c=2αk=-2，ω=-2，β=1，A1=0，A2=1 时，其特解为

图5表示一个传播时间光孤子的模型，光孤子在传播的过程中随时间的变化而发生了位移［22］。

图4 式（23）利用式（21）得到的光孤子

图5 式（24）利用式（22）得到的变位移光孤子

第3种情况：当λ=0时，结合ø，ψ的关系式，同理，即可得到非线性代数方程组，并借助Maple软件求解得到：

当 k1＞0，k2＜0 or k1＜0，k2＞0 时，有

定理 3 当（ω-αk2）β＜0时，有

对此，只需适当调节参数值，即可得到与第1种情况的第1类精确解类似的情形。

综上，本文成功地应用（G'/G，1/G）展开法求得非线性Schrödinger方程的孤立波解，并得到特定参数时所对应的图像以及相应的物理意义，为之后的光纤通讯物理模型求解打下基础。

3 结语

本文基于（G'/G，1/G）展开法，求解了在非线性效应下的模型方程——一般形式的非线性Schrödinger方程，获得了丰富的精确解。当所求解中参数取特定值，可以从中求得孤立波解，对光孤子的传输运动具有一定的研究作用。所用到的（G'/G，1/G）展开法，仅使用熟知的二阶常微分方程的常规解去构造非线性偏微分方程的解。相比双曲函数展开法等其他方法，该方法直接、简洁且基础，可根据计算得出的精确解直观地对所研究的具体物理问题进行预测。此方法对很多其他的非线性偏微分方程的求解也是有效的，如Burgers方程、Boussinesq方程等。由此，为数学物理领域中对非线性物理方程的求解提供了一种思路。

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