电容突变对介观电路的影响

刘伯禹

（徐州市第一中学,江苏徐州，221000）

0 引言

近年来，随着纳米电子学迅猛的发展，电路的集成化程度大幅提高。电路及器件的微型化程度已经达到了原子尺寸的数量级，出现了介观尺度的电路，人们对介观电路的量子效应有了许多研究。人们主要研究了介观电路中电荷和电流的量子效应和在恒定直流信号作用下介观电路系统的量子态。也有对于在脉冲信号作用下介观LC电路量子态变化的研究。电流变化和电容变化均会导致势能突变和电路能量的突变，而环境扰动导致的电容的变化少有研究。本文主要讨论介观LC回路和考虑电路内阻的RLC回路中电容结构变化所产生的影响。

1 介观LC电路的量子化过程

对于无内阻无源LC回路， LC回路的电路方程为：

参照一维谐振子方程，可以解得能量本征值为：

En对应的本征态为：

其中

至此，我们通过类比谐振子，获得了量子化的介观LC回路方程的一般形式。

同时，介观LC回路也可以被上升下降算符作用，并发生态的跃迁。对于本征态nϕ，有：

2 电容突变的影响

电路运行时，环境扰动、信号脉冲或量子涨落等因素的影响，会造成电路能量的突变。能量突变可以是电流突变导致能级的改变，也可以是电容结构变化导致电路的势能突变。能级改变对电路的影响已经有充分的讨论，本文主要着重于讨论电容结构变化导致的势能突变对电路的影响。电容结构的改变取决于环境因素和电容材料的选择，选择合适的电容结构，可以使介观量子电路的运转更为稳定。

考虑电路电感不变的情形下，仅改变电容C，会造成哈密顿量中角频率的变化。这里取t=0时刻，电容由C1变化为进行计算，此时电路角频率由ω1变化到 ω2=2ω1。在突变前后，量子化电路的波函数可以分别表示为：

较大概率仍然停留在基态。同理可以计算其他量子态之间跃迁的概率：

将计算得到的概率列成表格，如表1所示。

概率 初态φ0 φ1 φ2末态ψ0 94.28% 0 5.23%ψ1 0 83.38% 0 ψ2 5.23% 0 65.47%

综上，我们可以得出，介观LC电路中，如果初始状态不是基态，就有更大几率跃迁到其他态。同时，稳定系统应该尽量使量子态态处于低能级，这也符合物理学中的能量最低原理。

3 回路维持初态的跃迁频率

假设在t=0时刻电容发生突变，在t=τ时刻回到原状态。t=0时刻的波函数为

以 φn(x)表示V2场的本征态，可以将ψ0展开成φn的线性叠加

当0

如要求ψ ( Q ,τ)= Aψ0(Q)，则必须有

满足这一条件的τ值为：

当t=τ时，电容变回原来状态，体系维持初始状态不变。

4 电路存在内阻时的影响

相比于无能量损耗的LC电路，存在内阻损耗的RLC介观电路更为常见。对于电路中的阻尼电阻，我们仍然可以从经典RLC回路方程开始对其进行量子化。考虑若阻尼情形

经典情形下方程解为：

参考文献[7]，引入新的一套力学量q,p对回路作变换：

假设RLC回路系统在t=0时刻发生电容突变，由基态跃迁到高能级态，在t=τ时刻电容回到原状态。同4中推导过程，要求：

其中

5 结论

研究介观电路的特性对于电子器件和微电子技术的发展有着重大意义，可以推动微型电子元件多方面的应用发展，不论是介观电路自身变化的影响还是外界变化的影响均有较大的研究价值和研究空间。本文通过研究介观电路量子化的效应，讨论了其中电容结构改变引发的势能改变对于其能量突变的影响。在此情形下，初态若是本征态，则有较大概率保持在初态，但不能忽略到其他能级态的情形。但若初态高于本征态，则有较大概率不会保持在当前本征态。因此在小尺度的介观电路中，应该在运转过程中保持较低的电流，使得电路所处的能态不受能量突变的影响。如果用于制作三极管或运算放大器，则要将电路能态跃迁的影响考虑在内。应该选取适当的扰动频率，使电路工作时所处的量子态保持不变。在考虑内阻损耗的情形下，仍有相同结论。介观电路中电容结构的变化较为常见，且其造成的影响不容忽视，本文中的结论对于介观电路特性的进一步探究具有一定的研究意义和应用价值。

参考文献：

* [1]曽谨言.量子力学.上册[M]. 科学出版社, 1981.

* [2]Chen B, Li Y Q, Fang H, et al. Quantum effects in a mesosco pic circuit[J]. Physics Letters A, 1995, 205(1):121—124.

* [3]嵇英华, 雷敏生, 谢芳森,等.脉冲信号作用下介观LC电路的量子效应[J]. 物理学报, 2001, 50(6):1163—1166.

* [4]王继锁, 韩保存, 孙长勇.介观电容耦合电路的量子涨落[J].物理学报,1998, 26(7):1187—1192.

* [5]梁昆淼. 数学物理方法[M]. 高等教育出版社,1990.

* [6]赵凯华, 陈熙谋. 3版[M]. 高等教育出版社, 2011

* [7]龙超云, 刘波. 轻阻尼RLC量子化回路的双波描述[J]. 物理学报 , 2001, 50(6):1011—1014.