设计单元整体复习驱动数学思维生长*

□顾大权

（张家港市第一中学，江苏张家港 215600）

数学是思维的体操，数学课堂是思维活动的课堂，数学课堂教学的目的是让学生学会数学的思考，发展数学思维.借助于单元整体复习设计可以整合单元核心的知识内容，站在新的起点上，系统回顾知识，反映知识的本质，重构教学价值，感悟数学思想，并在感受知识发展过程的同时，驱动思维不断生长，从肤浅走向深刻，形成深度思维.

单元复习设计就是从一章或者一个单元的角度出发，根据章节或单元中不同知识点的需要，综合利用各种教学形式和教学策略，通过整合复习让学生对一个相对完整的知识单元有本质的认识，弄清知识间的相互联系.单元复习要向学生传递知识的整体性、联系性、发展性和综合性，让学生在掌握知识、理解内涵的基础上驱动思维不断生长.

一、经历知识发展的过程中驱动思维不断生长

在苏科版《数学》九年级下册“第7章锐角三角函数”的复习中，教材的例题和习题中多次出现一个“主题图”，即两个直角三角形的组合图形，它贯穿整个章节.如何发展这个主题图的价值和作用，笔者做了如下的整体复习设计.

图1

1.从同学们熟悉的两个直角三角板入手，如图1所示，问题1：若BC=2，DE=2，你能求出其他的边长吗？问题2：若任给三角形的一条边长为2，你能求得其他的边长吗？

【设计意图】对于上述两个问题，学生由于对特殊三角函数值的掌握或对特殊三角形的熟悉，很容易求得边长.这里主要加强学生对基础知识的熟练掌握.

2.如图 2，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°，BC⊥AD.

问题1：若BC=2，你能求出其他的边长吗？

问题2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的边长吗？

图2

图3

3.如图 3，在△ABD中，已知∠A=45°，∠BDC=60°，BC⊥AD.

问题1：若BC=2，你能求出其他的边长吗？

问题2：若AB=2(BD=2)，你能求得其他的边长吗？

【设计意图】对于第2、3两题，学生发现是由两个特殊三角形经过拼接形成的，根据所给的边长，在每个特殊的三角形中即可解决.这里让学生感受复杂的图形是由简单的图形变换而来的，促进学生思维的生长.

4.如图 4，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°.

图4

问题1：若BD=2，你能求出其他的边长吗？

问题2：若AB=2，你能求得其他的边长吗？

【设计意图】通过添辅助线构造直角三角形后，学生逐渐发现还是由两个特殊三角形经过拼接形成的，根据前面积累的经验，学生可以顺利解决.此题就是在上题的基础上变换而来的，解决这类问题的关键就是通过计算得到两个直角三角形的公共边，由公共边就可以联系两个直角三角形，从而解决这类问题.从貌似普通的两个三角形，学生经过深入思考发现依然是两个特殊三角形拼接而成，经历这个过程，学生的思维再次随之生长起来.

问题3：若AD=2，你能求得其他的边长吗？

【设计意图】通过添辅助线构造直角三角形后，学生已经知道是由两个特殊三角形经过拼接形成的，但是所给的AD的长不能直接在两个直角三角形中直接运用，解决这类问题的关键是找到公共边的长，不能找到的情况下则设未知数，用未知数将AD表示出来，通过解方程解决问题.这类问题的处理时不知道任意一个直角三角形的边长，需要设未知数来解决.学生在同样的图形中，发现条件发生变化时，处理问题的方法也有所变化，经历解决这类问题的变化后，学生解决问题的思维能力也随之发展起来.

5.如图 5，在△ABD中，已知∠A=27°，∠BDC=40°，AD=2.（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈ 0.51，sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77，tan40°≈ 0.84）

问题：你能求出其他的边长吗？

【设计意图】由特殊的角度变成一般的角度后，只要提供所需的三角函数值，学生还是通过构造直角三角形，寻找两个直角三角形的公共边，不能直接找到则设未知数，在两个直角三角形中利用边角之间的关系表示出AD的长，运用方程解决这类问题.通过从特殊到一般，学生的思维更加明朗，这类问题都可以从两个直角三角形的公共边入手加以解决.

主题图贯穿于整个单元，分布在各个课时里，内容也交融在各个课时的内容中，在平时的新授课中很难将主题图过分地铺展开来，不能很好地发挥应有的作用.在单元复习课上，围绕主题图做专门的设计，让学生从两个熟悉的三角板入手，通过拼接逐渐发展变化形成主题图，在这个变化过程中如何思考解决这类问题，掌握解决这类问题的能力，并在主题图发展变化的过程中思维也随着一步步逐渐开阔，从狭隘走向广阔，不断生长，养成良好的思维品质.

二、理解知识本质的过程中驱动思维不断生长

在苏科版《数学》九年级下册“第5章二次函数”的复习中，二次函数的图象是研究二次函数的性质、与一元二次方程的关系以及解决实际问题的关键，如何在单元整体复习中让学生通过画图、识图来理解二次函数图象的实质，发展学生的数学思维，提升学生的能力，笔者做了如下的整体复习设计.

1.描点法画函数图象的步骤是列表、描点、连线，请动手画函数y＝x2的图象．

（1）列表（见表1）

表1

（2）描点、连线（见图6）

图6

问题1：表格从何而来？表格的意义是什么？

问题2：点从何而来？

问题3：线怎么画出来？

【设计意图】在学生温习画图象的过程中，让学生理解二次函数的解析式可以看成是一个方程，方程有无数个解，每一个解都由x，y这一组数对组成，而每一个数对就是一个坐标，一个坐标就对应一个点，许多的点就构成了线.表格就是由方程的解而来，表格的意义就是找到了有序实数对，即坐标，也就是找到了点.这个过程就是由数到形的转化，即二次函数→方程→方程的解→有序数对→坐标→点→线[1].学生经历这个过程，理解了数到形的实质，真正理解了函数图象的意义.在这个过程中，找到了数学思维能力的突破口，学生的思维也不断生长.

2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图7所示.

图7

问题1：求方程ax2+bx+c=1的根.

问题2：求不等式ax2+bx+c＜-2的解集.

问题3：若方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_________.

【设计意图】问题1可以通过求二次函数的解析式，进而解一元二次方程求解；这里主要是让学生学会识图，让学生将求方程ax2+bx+c=1，的解理解成方程组， 的解，方程组的解是找两个方程y=ax2+bx+c和y=1的公共解，公共解是两个方程的公共坐标，此时将两个方程理解成两个函数，公共坐标是找两个函数的交点，通过观察图象，从而发现交点，找到坐标就找到了方程的根.问题2是一元二次不等式，初中阶段不会解一元二次不等式，只能寻求其他的方法.在上面问题的引导下，就是看成二次函数y=ax2+bx+c和常函数y=-2，不等式ax2+bx+c＜-2就是抛物线y=ax2+bx+c低于直线y=-2的部分，通过图象容易找到两个函数的交点，进而判断范围，从而找到解集.问题3将方程ax2+bx+c-k=0理解成方程组， 方程有两个不相等的实数根就是方程组有两组解，就是找两个方程的两组解，将两个方程理解成两个函数，两组解要找两个函数何时有两个交点，通过图象可以看出当k=-3只有一个交点，当k＞-3会有两个交点.这个过程是由形到数的转化，即图象→点→坐标→有序数对→方程的解→方程→函数.学生通过3个问题经历从形到数的转化，经历了思维过程，学会了思维的方法，也真正理解了函数图象中数↔坐标↔点↔线之间的联系，数学思维能力不断得到了生长.

二次函数的解析式和图象是二次函数的核心内容，也是解决实际问题的基础，理解数与形的实质，才能掌握二次函数与方程之间的内在联系.复习的过程中通过描点法画二次函数的图象，让学生经历由数到形的转化，体会数到形的本质.通过观察图象经历由形到数的转化，理解形到数的本质.让学生真正理解二次函数数和形之间的实质，在理解的过程中找到思维发展的突破口，学会透过现象看本质，培养学生思维的发展，学生的思维也随之从肤浅走向深刻，不断生长，发展了数学的思维深刻性.

数学教学是思维的教学，数学课堂是有目的、有计划培养思维能力的课堂，在数学复习课中通过单元整体设计教学，在知识的联系发展过程激发每一个思维增长点[2]，拓宽学生思维的宽度；在理解知识的本质过程中激发思维、拓展思维，才能深化学生思维的深度，促进学生的思维不断生长，形成良好的思维品质 .

参考文献：

［1］毛小芳.数形结合应落实到“点”上［J］.初中数学教与学，2016（7）：43-46.

［2］叶亚美.精心预设思维增长点切实提高思维参与度［J］.中国数学教育，2015（11）：51-54.