数形结合方法中体现的美学思想

孙喜陆

一直以来，人们在学习数学时，往往很容易进入这样一个误区，认为数学只是一门枯燥乏味的工具性学科，只注重其实用原则，却忽略了其美学原则。通过对初中学生的数学课堂学习表现以及学习动机的调查，我们发现很多学生学习数学仅仅是为了应付考试，本身对数学并没有什么兴趣，显然这与我们所提倡的新课程教育理念相违背。众所周知，喜欢美好的事物是人类的天性，人们在实际生活中也都倾向于追求美丽的事物，这对我们的数学教育工作者开展数学教学而言也是一种启发。初中教师在课堂教学中，一定要注重将实用性原则与美学原则相结合，在传授学生基本的解题能力的同时，还应当引导学生去发现数学之美，培养学生对数学的学习兴趣。数形结合的美主要体现在数与形二者的统一美与简洁美，我国著名的宋代数学家杨辉在推导三角形面积公式时，就巧妙运用了数形结合的思想，在其所著的书中，我们既能够欣赏到数学之美，也能够深刻领会到数形结合、对称思想等多种数学研究思想，以及数形之间的统一协调美。

我国著名数学家华罗庚于1964年在其科普小册子《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一文中，在讨论蜂房结构时最早提及了“数形结合”一词。如蜂窝的表面是有许多个正六边形组成的，形状紧凑而复杂，那么蜜蜂为何会选择使用六边形这种图案而不是正三角形、正四边形等图案来建造蜂窝，这个问题引发了人们的思考。

众所周知，在所有的正多边形中，能够进行自镶嵌的只有正三角形、正方形以及正六边形三种，从面积角度来看，如果规定一定的面积，那么正六边形的周长最小，结合蜂蜜筑巢的实际情况，即在确保同样的储存面积时，将巢穴建成六边形所需花费的材料最少，显然蜜蜂并没有学过数学，更不懂什么叫做镶嵌理论，这让人们不得不感叹于蜜蜂这种神奇的建筑能力。

我们将毕达哥拉斯定理以及黄金分割定理称为几何学的两大研究瑰宝，如果说前者是金矿的话，那么后者则是钻石矿，可见其在数学几何学研究中的重要价值，黄金分割定理完美地呈现了数形结合的统一美。

黄金分割定理在现实生活中的应用十分广泛，尤其是绘画艺术创作中，很多作家在进行创作时都会运用到黄金分割定理来增加作品在视觉上的和谐感与美感，例如由米洛创作的“维纳斯”、达·芬奇的《蒙娜丽莎的微笑》、《最后的晚餐》等，都使用了黄金分割定理。

此外，黄金分割定理在大自然界中也有着奇妙的体现，例如海螺、蜗牛的外壳与对数螺线非常接近，并且是有多个黄金矩形所组成的黄金螺线。

所谓的黄金矩形就是长与宽之比刚好等于黄金比例的矩形，在一个矩形中，理论上，可以作出无限个黄金矩形，用圆规在黄金矩形中正方形部分里作四分之一圆弧，将这些弧线连接起来形成一条连贯的曲线，我们将这条曲线叫做黄金螺。

由于对数螺线的切线与螺线半径所形成的角都是互相全等的角，所以，对数螺线又叫等角螺线。如果动点极径的对数与其极角之间存在着正比例关系，则动点的运动轨迹即为一条对数螺线，其极坐标方程为：

或

上式中，角 以等差数列的规律增大或减小，而 则依等比数列而变化。

科学家研究表明，当腿长与身高的比例接近黄金比例即 时，身材看起来是最美的，这也是為什么现代很多女性会喜欢穿高跟鞋，就是为了在视觉上拉长双腿，使腿长身高比更加接近于黄金比例。可见数形结合的美除了在大自然中也有着不可言喻的神奇体现，还渗透进我们日常生活中的各个方面，与生产制造以及人们的行为活动密切相关。

数与形思想中的简洁美主要是指解题方法、逻辑以及结果的简洁性。教师在教学过程中，经常会称赞某种解题方法“非常漂亮”，这里所说的漂亮就是指解题方法既巧妙又简洁，例如在有理数一章中，经常会遇到这种类型的题目：

例1 如果 试将 按由小到大的顺序排列。

解法一： 且 ，

解法二：根据题意，画一条数轴，将a和b分别表示出来，而 即为a，b关于原点在数轴上的对称点，四者之间的关系一目了然，如图所示：

在课堂中，大多数同学通常想到的都是解法一，经过教师讲解了解法二之后，不少同学都纷纷表示非常惊奇，感叹于这种运用数形结合思想来解题的直观简洁。函数是初中数学中的重点教学内容，教师在讲解函数这一章节时，常常需要作大量的图进行辅助教学，帮助学生直观清晰地掌握函数的性质与变化规律等。

例 已知： 是方程 的两个根，且 ，试比较 的大小。

解题点拨：如果将本题视为一道代数题进行分析，题目中有四个未知变量，对于学生而言，运算量较大，且根本无从下手，而我们如果如果利用函数的图形性质来看待这道题目，不难发现，可以分别将 以及4看作两个函数，即 与 ，则方程 的含义就是这两个函数在坐标系中相交，则 即为两个函数相交点的横坐标，而 为函数 与 轴的交点横坐标。如图所示

又由题目中已知条件 ，不难得出：

上述例题充分说明了数形结合思想能够将复杂问题简单化，让学生运用直观、简洁明了的方式去解题，一方面加强了他们数形转化的思维能力，另一方面也提高了他们解题效率和解题正确率。

（作者单位：赤峰市松山区王府学校）