圆锥曲线焦点弦问题的探究

黄显斌

关键词：圆锥曲线 焦点弦 焦半径

摘要：圆锥曲线的焦点弦问题是高中数学考试命题热点，如何能用最短时间解决问题是高中教师的教研方向。本文介绍关于焦点弦的公式，并例举解题方法。

圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，圆锥曲线知识既是高中数学的重点又是难点因而成为高考的重点考查内容。圆锥曲线焦点弦就是经过圆锥曲线焦点的弦，圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的重点知识，集数学知识、思想方法和解题方法于一体。本文介绍关于焦点弦的公式，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更

深刻的了解从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。

定理1 已知点 是离心率为 的圆锥曲线C的焦点，过点 的弦 与C的焦点所在的轴的夹角为 ，且 。（1）当焦点F内分弦AB时，有 ；（2）当焦点 外分弦 时（此时曲线为双曲线），有 。

证明 设直线 是焦点 所对应的准线，点A、B在直线l上的射影分别为 ，点 在直线 上的射影为 。由圆锥曲线的统一定义得， ，又 ，所以 。

评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

定理2： 已知点F和直线l是离心率为e的圆锥曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p。过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为 ，则有 。

证明 设点A、B、F在准线l上的射影分别为 ，过点F作轴FH的垂线交直线 于点M，交直线 于点N。由圆锥曲线的第二定义得， ，

所以 。

评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为（ ）

A.y=x-1或y=-x+1 B.y=33（x-1）或y=-33（x-1）

C.y=3（x-1）或y=-3（x-1） D.y=22（x-1）或y=-22（x-1）

解一： 拋物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=13，当x1=3时，y21=12，所以此时y1=±12=±23，若y1=23，则A（3，23），B13，-233，此时kAB=3，此时直线方程为y=3（x-1）.若y1=-23，则A（3，-23），B13，233，此时kAB=-3，此时直线方程为y=-3（x-1）.所以l的方程是y=3（x-1）或y=-3（x-1），选C。

解二：由 ，得： 或 ，于是 ， ，选C。

点评：由解答可知，利用本文公式可以减少运算量。

例2已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于A、B两点。若 ，则 的离心率为（ ）

解： 这里 ，所以 ，又 ，代入公式得 ，所以 ，故选 。