高中生对函数的认识与态度

林玉慈，史宁中

(东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春 130024)

一、引 言

在我国，由21世纪初开始的课程与教学改革的重要标志是，课程目标由一维转变为三维，也就是，由传统的“知识技能”的一维目标转变为“知识技能”“过程方法”“情感态度价值观”的三维目标。后来，《义务教育数学课程标准(2011版)》提出的“四基”以及新近颁布的《普通高中数学课程标准(2017版)》提出的“数学核心素养”，都是三维目标的深化与发展。

课程目标的变化，是要改变传统的教育理念和教学方法。如果说，传统的教育理念是“以知识为本”，教学方法更多的是依赖教师的述说、学生的记忆与训练，那么，提倡的教育理念就是“以人为本”，是为了学生的发展，教学方法更多的是依赖教师的启发、学生的思考与理解。

但是，在现实的教学活动中，“情感态度价值观”的目标一直形同虚设，似乎无法在教学中得到落实，特别是无法进行相应的考查。但这个目标是非常重要的，是学生如何看待和学习数学的精神方面的出发点，也是思维品质的落脚点。之所以说是落脚点，因为这是三维目标的一个目标，是数学核心素养的基本要素(高中数学课程标准把数学核心素养定义为：是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现)[1]4。之所以说是出发点，是因为“以人为本”教育理念的起点就是要懂得学生，不仅要知道学生知识的起点是什么、懂得学生是如何理解教学内容的，还要知道学生是如何看待知识的、懂得学生以什么样的心态学习教学内容。

无论是态度还是素养，在本质上，都是一个人看问题和做事情的习惯，是这个人在思维的过程中或者在做事的过程中，亲力亲为、日积月累形成和发展起来的，因此，态度和素养的养成必须通过过程的教育[2]9-13，44。正因为如此，在教学设计和教学实施的过程中，不应当抽象地看待“情感态度价值观”的目标，把目标与具体的教学内容脱节；而应当把这个目标与教学内容有机结合，设计合适的教学活动，引导学生积极地参与教学活动中，独立思考或与他人交流，在思考和交流的过程中让学生掌握知识技能、感悟数学本质，形成和发展数学核心素养，达到目标的要求。本文将尝试，以高中函数概念的内容为依托，展开对这个问题的研究。

函数是描述客观世界中变量关系和变化规律最为基本的数学语言和工具，是贯穿高中数学课程的主线。由于函数概念的抽象性与复杂性，不仅是高中数学教学的重点、也是难点。正如克莱因提到的那样：函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一[3]36-40。

关于函数的教学研究，大多数的文献关注“知识内容”与“过程方法”这两个目标，本文尝试讨论高中生对函数的认识与态度；在这个基础上，讨论如何从学习情感的角度去引导学生，使学生的学习由被动到主动，帮助学生们形成良好的学科素养。学习情感是指：对学习活动所表现的一种比较热烈、稳重而深厚的情感状态[4]18。学科素养可以描述为：后天形成的、与特定情境有关的、通过人的行为表现出来的知识、能力与态度[5]8-14。

有关高中生如何理解函数概念的研究已经有很多文献，比如，濮安山在用APOS 理论分析高中生函数概念的建构过程中，发现大部分学生能够完成操作活动、并且能够综合描述出函数概念，达到操作阶段和过程阶段的要求，但只有很少的学生能达到对象阶段和图式阶段的要求[6]48-50。曾国光通过对100名学生的测试，发现中学生的函数概念认知可分为三个阶段，测试结果表明达到高层次水平的学生数量极少，这也进一步说明理解函数概念的难度[7]99-102。

我们的研究希望回答的问题是：为什么高中生不能深刻理解函数概念，高中生对函数的认识和态度是什么。研究结果表明，高中学生不能深刻理解函数概念主要是因为：与初中函数比较，高中函数定义发生了本质的变化，函数的作用也发生了根本的变化。原有教科书、包括教师课堂教学都没有关注这样的变化，最终导致高中学生不能很好地把握函数的本质。这个现象似乎只涉及了知识和技能，但在事实上，不重视变化的课堂教学深刻地影响了高中学生对函数概念的认识和态度，最终导致大部分高中学生完全从应试的角度认识和学习函数。本文的结尾部分，将比较详细地分析上面的结论，并且对未来高中数学的课堂教学、高中数学教材建设以及师范大学的数学教学提出了建议。

二、调查方法与调查对象

本研究采用定性分析和定量分析相结合方法，数据和信息的收集分为纸笔测试、学生访谈和教师访谈三种形式。

纸笔测试一共13个题目，都是让学生自我陈述是如何理解函数的。前12个题目分别用解析式(5题)、图像(5题)、表格(2题)的表达方式，请学生判断题中给出的表达是否为函数，最后1个题目请学生说明y=f(x)中的符号f，x，y分别代表的含义是什么。纸笔测试是在班级自习时间进行的，测试时间20分钟。

学生访谈每名学生时间为20分钟，教师访谈每名教师时间为40分钟。访谈地点为年组办公室，在征求受访者同意后进行了录音。

选取长春市和哈尔滨市各一所高中进行调查，学生共计35人。其中长春市高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，共计12名学生；哈尔滨市高一学生14名，高二学生6名，高三学生3名，共计23名学生。总计，高一学生19名，高二学生10名，高三学生6名。

学生访谈12名，其中高一学生6人、高二学生3人，高三学生3人。访谈教师3名，其中高三年组1位有38年教龄的特级教师，高二年组1位有10年教龄的教师，高一年组1位教龄将满1年的刚入职教师。

三、调查结果分析

纸笔测试。纸笔测试的目的是了解高中三个年级段的学生对函数概念的掌握情况，三个年级的题目是一样的，其中12个题目是常规性的判断题，1个题目是让学生述说函数表达式y=f(x)中每一个符号的意义。12个判断题回答正确率如下表所示。

表1 高中生纸笔测试的正确率

函数概念在初中数学中已经有所渗透，用变量关系予以表述，侧重解析式的表达方式；高中数学则开学起始，就把函数作为教学内容的主线，用对应关系予以表述，实现了更高层次的抽象。表1的数据显示，高一的学生还不能在更抽象的层次、或者说、还不能更一般性地把握函数的概念，更多地是承接了初中学习的关于函数的知识；高二和高三的学生基本能够一般性地把握函数的概念。

进一步，12个题目全部回答正确的，高一学生19名中有3名，高二学生10名中有6名，高三学生6名中有3名，这也表明高二和高三的学生明显优于高一的学生。这样的进步，可能是逐渐领悟的结果，也可能是反复训练的结果。可以通过对学生访谈的分析，了解其中更详细的原因。

对于函数表达式y=f(x)中符号的理解，高一学生的回答分为三种：x是自变量，f是对应法则，y是x对应法则作用后的值，占54.5%；x是原象，y是象，f是映射，占27.3%；x是横坐标，y是纵坐标，f是对应法则，占18.2%。高二和高三学生只有一种回答：x是自变量，f是对应法则，y是x对应法则作用后的值。这要表明，高二和高三的学生对函数概念的理解更加清晰。

学生访谈。一共访谈了12名同学，其中高一学生6名、高二学生3名，高三学生3名。访谈提纲有16个问题，分为三个方面：对函数的理解；对函数的态度；学习数学的态度。访谈结果表明，学生对函数的态度与学习数学的态度是一致的，因此下面分两个方面归纳访谈结果。除此之外，还在任课教师的帮助下，组织学生进行了利用函数建模的实践课，观察并记录了学生建模过程。

对函数的理解。接受访谈的12名学生都能准确地说出函数的定义，其中10名学生用变量关系述说函数的概念，其余2名用对应关系述说函数概念。这个结果与纸笔测试的结果大体一致，因为纸笔测试的结果显示，几乎所有的学生都能够理解用解析式表达的函数。

但是，访谈结果表明，大多数的学生都不能很好地理解函数的本质。对于“你认为函数研究的问题是什么”和“你认为学习函数的用处是什么”这类问题，有9名学生不能说明函数研究的问题是什么，进而不能说明学习函数的意义。其中大部分学生、特别是高一的学生，认为学习函数是为了计算，例如这样的回答：“函数是研究有一定规则的计算方式”“函数为一种计算方式”“函数是一个变量能按照一个作用表示出另一个量的表达式”等等；还有些学生认为学习函数就是为了研究图形的性质，例如这样的回答：“函数研究的是单调性、奇偶性等图像所具有的性质”。

事实上，学生的回答暴露了教学中的问题、甚至暴露了教材编写的问题，因为大部分学生不能理解高中为什么要用对应的方法重新定义函数，例如对于“初中时学习了函数的概念，高中又用对应说重新定义了函数的概念，两种定义有什么不同吗？为什么需要重新定义呢？”这个问题，学生普遍认为：“高中的概念比初中的概念更高级了”“在初中需要计算x为a值时的y值时，需要写很多的字来叙述，在高中的时候只要写f(a)就行了。”可是，当追问“高中概念的高级是否只是因为求值表述的更方便”时，学生予以否认，但又不能说清楚高中概念的高级包括哪些内容。甚至有极少部分学生认为，学习函数就是为了考试，例如这样的回答：“如果说学习函数有意义的话，那么，这个意义大概就是考试吧。”“学习函数是为了老师能够判断一个学生学习的好坏。”

由此可见，大多数高中生不清楚在高中阶段用对应的观点重新定义函数的必要性，也不清楚高中阶段的数学为什么要如此重视函数。在大多数高中生的眼中，学习函数与学习其他东西一样、仅仅是一个学习的对象，因此，学习函数就是为了做题，就是为了考试。这或许就是“应试教育”在学生学习目的方面最明显的体现。

对函数的态度。这个话题包括学生学习数学的态度。通过访谈知道，所有学生都认为学习函数很难，甚至认为函数的难度是可以任意变化的，例如这样的回答：“教材中的例题都是挺简单的，可是练习册中的习题就变得有难度了。”

对于教材中关于函数发展史的介绍，只有不到50%的学生看过，所有看过函数发展史的学生都表示喜欢上数学课，数学成绩都在班级的中上游；特别是，如果学生所在班级的数学教师，能够在数学教学的过程中适当渗透数学史以及相关的数学文化，学生对于学习数学的兴趣会较高。一个不能忽视的事实是，不喜欢学习数学的学生遇到不明白的问题时，会等待教师讲解，如果教师没有讲解自己也就不思考了。

值得注意的是，在接受访谈采访的学生中有3名是“实验班”的学生，他们都表示平时喜欢上数学课，他们对函数的认识比较深刻，不但能够从变量之间的依赖关系和实数集的对应关系来理解函数，还能够举出不少生活中函数的例子。例如，在回答“你认为函数是研究什么”的问题时说：“函数是用来表达变量间的关系的，这些变量就自己而言是单独的，但他们都是有联系的，我们学习的函数仅是两个变量间的关系，并且这两个变量的关系很简单，现实中经常出现的是很复杂的变量关系。”“我们平时几乎没有时间看关于数学史的课外书，但教材中关于函数发展史的部分我自己都看过，我们班的数学老师在平时上数学课时，都会从数学史的角度提及相关数学知识的来龙去脉，我对数学史还挺感兴趣的。”“数学的研究对象是从生活中来的，虽然不能直接获得，但经过抽象就可以获得了。”这3名学生，都知道函数是刻画运动与变化的数学模型，并且能够在解答具体问题时灵活运用函数的知识。

由此可见，学生对函数的态度(包括学习数学的态度)决定了这个学生如何学习函数，决定了这个学生是否能够真正理解函数、应用函数。不言而喻，一个学生学习函数的态度，在很大程度上源于这个学生义务教育阶段的学习状况，比如上面提到的3名同学。但是，对于大多数学生，当他们进入高中学习以后，如果数学教师能够关注学生学习数学、学习函数概念的态度和心理，能够把握数学的本质、设计并且实施合适的教学过程，对帮助这些学生建立学习数学的兴趣和信心是会有显著效果的。在本文结论部分，将详细讨论这个问题。

利用函数建模。把参加访谈的学生按照年级分组，高一分2个组、高二和高三各1个组。在任课教师的帮助下，分小组开设利用函数建模的实践课。每个小组的教学内容是一样的，都是讨论刹车距离模型，具体任务是：找出影响刹车距离的制约因素、建立刹车距离的函数模型*参见《普通高中数学课程标准(2017版)》附录2“教学与评价案例”的案例7。。

课堂记录表明，所有小组的情况都类似，与年级无关。学生们表示从来也没有接触过这样“没有具体条件、也没有具体结论”的问题，完全无法入手；在老师的提示下，经过讨论，都能够确定影响刹车距离的两个最为基本的因素：汽车刹车的制动力和地面的摩擦力，可是仍然不能利用学过的函数知识、建立符合背景的数学模型；最后，经过老师长时间引导，才完成了数学建模的过程。但是，学生始终不知道如何建立假设、根据假设设立数学模型中的参数，只有当老师提供了实际的实验记录数据时，学生才清楚应当如何假设和估计函数模型中的未知常数，最终完成了利用函数建模的实践课。

值得注意和反思的是，在这样的解决实际问题的学习过程中，尽管整个过程都不顺利，但所有学生的学习态度都非常积极，都努力地回顾学过的函数知识，思考如何建立函数知识与现在的现实背景的联系。经历了这样的实践课的学习以后，几乎所有的学生们都表示，以前在作函数应用习题的时候，都认为是为了巩固函数知识而进行的训练，而这一次才真正有了用函数解决现实中实际问题的体验，甚至有的同学表示，增强了学习函数的兴趣和渴望。

由此可见，大部分高中生具有学习好函数、学习好数学的潜质，并且具有良好的情感态度价值观方面的潜质，因此在教学过程中，教师不能只关注知识技能的传授，甚至实施知识靠记忆、技能靠训练的教学方法，而应当利用适当的时间、选择适当的内容、实施适当的教学过程，引发学生独立思考和合作交流，激发学生学习函数、学习数学的兴趣，帮助学生建立学好函数、学好数学的信心。积极的学习态度是学生能够认真学习、获取真正知识的基本动力，这也是为什么说，情感态度价值观不仅是教学的落脚点、也是教学的出发点。

教师访谈。是围绕如何进行函数教学进行的访谈。

关于函数概念的讲授，新教师所采用的方法是，先回忆初中的“变量说”，对应教材中三种函数表达形式的实例，让学生说出其中的自变量和因变量，再从集合的角度分析自变量和函数值的取值范围，最后引导出高中的“对应说”。当追问：初中函数已经有了“变量说”的定义，高中函数为什么还要学习“对应说”的定义呢？这位教师的解释是：初中函数是“单一”的变量x和y之间的对应关系，高中函数是非空数集的对应关系。当继续追问：“变量说”和“对应说”有什么本质的不同？这位教师的回答是：在教学中不太关注这些知识，更多的是关注学生们会不会做各种题目。

中年教师和老年特级教师采用的教学方法与新教师有所不同，他们都会先讲映射、即先讲一般意义的对应关系，然后再说明函数是一类特殊的映射、引入函数的基于对应关系的定义。但是，这样的教学仍然没有让学生感知高中阶段引入函数“对应说”定义的必要性。他们回答说，从来也没有学生提出过这个问题，在课堂中更关注的是讲完概念之后，学生是否会求出函数的定义域和值域等具体的知识和技能。这两位教师对“对应说”的理解是一致的，因为“变量说”不准确，并且举例说明，不能判断“y=0”是否为函数。

由此可见，大多数高中教师不能很好地理解高中函数定义与初中函数定义差异的本质，因此在教学活动中，不能深入浅出地引导学生认识函数知识的本质，激发学生学习函数的兴趣，帮助学生感悟其中蕴含的数学思想，形成和发展数学核心素养。

四、总 结

从纸笔测试和访谈记录可以看到，高中学生普遍能够较好把握与函数概念有关的知识技能，但是，这些学生对于函数本质的理解以及应用函数解决实际问题等方面还存在很大的问题。究其原因，主要因为在教学过程中，教师主要关注学生知识的记忆和技能的熟练，导致许多学生的学习是被动的、而不是主动的。事实上，一个学生要掌握真正的知识、获得终身受益的能力，那么这个学生的学习就必须是主动的，需要这个学生的独立思考和合作交流，在过程中日积月累，逐渐形成和发展数学的素养。

主动学习取决于这个学生对函数、对数学的情感态度价值观，后者是三维目标所要求的，也是未来实施《普通高中数学课程标准》所要求的。学生访谈结果非常充分地说明了这一点，那些对数学没有兴趣、对学习好数学缺乏信心的同学，在教学活动中主要是听教师讲授，而不能积极思考；而那些对数学有兴趣、学习成绩较好的同学，在教学活动中都能够积极主动地思考问题。因此，教师在教学的活动中，必须关注学生学习函数、学习数学的态度，如前所述，这不仅是教学的落脚点、也是教学的出发点。

访谈结果表明，教师的积极引导对于学生形成良好的学习态度是重要的，除了适当地讲述数学史和数学文化以外，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，是引发学生思考的有效方法。与思维能力的培养一样，良好学习态度的形成依赖的也是学生自己的感悟，是在学生的学习过程中逐渐形成的，不能单纯依赖教师的讲述。比如，利用函数建立刹车模型的实践课就取得了很好的教学效果，这个很好的教学效果不仅表现于学生对于知识技能的掌握，更重要的是提高了学习数学的兴趣，增强了学习好数学的信心。

对于高中数学教师，能够“创设合适的教学情境，提出合适的数学问题”的关键，是对数学知识本质的把握，知道知识产生的必要性、是如何产生的、是如何发挥作用的。可惜的是，过去高中数学教材的编写，甚至师范大学的教学都没有关注这些问题。国家现在高度关注中小学教师的培养和提高，因此，师范大学的学科教学不能只关心知识是什么，而必须牢记师范大学培养的学生是未来的人民教师，要关心这些学生未来将如何进行教学，要关心这些学生在未来教学中是不是能够实施“以人为本”的教学理念，落实“立德树人”的根本任务。新修订的《普通高中课程标准》的颁布是一个良好的契机，师范大学可以据此修订教学方案，甚至修订教学计划。

下面，还是以函数概念的教学为例，探讨在教学活动中，如何把握数学的本质，如何创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发高中生主动思考。

高中数学函数概念之所以难以理解，主要是与初中函数相比发生了两个本质的变化，这两个变化不仅是知识技能的，也是思维方法的。

一个变化是函数的定义发生了变化。初中函数的定义是用变量关系的语言进行表述的，高中函数的定义是用对应关系的语言进行表述的，因此，高中的定义比初中的定义更为抽象。之所以要进行更高层次的抽象，是因为初中函数的定义突出的是变量关系的表达式(包括图像和表格)，这样的定义无法研究不同表达形式的函数的本质，比如无法判断：f(x)=sin2x+cos2x与g(x)=1是否是同一个函数，即便这两个函数的自变量与对应的函数值都是一样的；同时，并不是所有的函数都能够写出显示表达式，比如，有名的狄利克雷函数：自变量为有理数时函数值为1，自变量为无理数时函数值为0。因此，函数的本质不是表达式，而是对应关系。并且，通过对应关系可以清晰地知道函数的定义域与值域，这对确定一个函数也是重要的。

可是，过去所有的高中教科书都没有阐述函数定义进一步抽象的必要性*基于《普通高中数学课程标准(2017版)》的新编教材都对这样的问题予以了充分的重视。，导致几乎所有的高中数学教师，在教学过程中都没有让学生感悟为什么要用对应关系再一次定义函数。这样的教学完全是知识的传授，无法让学生深刻地理解函数的本质，更无法让学生感悟数学抽象的必要性和层次性，不利于学生形成和发展数学核心素养。事实上，高中数学每一个新概念的引入、每一个新方法的提出，都有着深刻的现实背景或数学需要，这些背景和需要都能成为教师“创设合适教学情境、提出合适数学问题”的素材。

另一个变化是函数的作用发生了变化。在初中阶段，函数的教学只是建立两个变量的关系，没有涉及到函数的定义域，因此函数的作用主要是为了解题：通过自变量求函数值，这样，函数似乎就是一个算式或者方程，正如学生访谈中，大部分学生所理解的那样。在高中阶段，除了解题的功能以外，函数的教学开始讨论函数的性质，比如，函数的单调性、奇偶性、周期性，讨论这些性质的实质是为了研究两个变量的变化规律，正因为这样，函数才可能成为描述现实世界中那些规律性东西的有效的数学语言。

因此，过去几乎所有的高中数学教科书都把函数的性质作为知识传授，导致几乎所有的教师，在教学过程中都从计算方法的角度讲授函数的性质，而不是让学生通过实例感悟为什么要研究这些性质，这样的教学无法让学生真正地掌握函数的知识，就如利用函数建模的实践课那样，遇到具体问题就无从下手。特别是，这样的教学无法让学生感悟学习函数的重要性，提高学生学习函数的兴趣，增强学好函数的信心。最终，无法让学生会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界，而这些恰恰是情感态度价值观的课程目标所要求的，也是数学核心素养的要求。

[参 考 文 献]

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017版)[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史宁中.关于教育的哲学[J].教育研究，1998(10).

[3] 史宁中，濮安山.中学数学课程与教学中的函数及其思想——数学教育热点问题系列访谈录之三[J].课程·教材·教法，2007(4).

[4] 雅科布松.情感心理学[M].王玉琴，等译.哈尔滨：黑龙江人民出版社，1997.

[5] 史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养—史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017(4).

[6] 濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007(5).

[7] 曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002(5).