例析数学解题中添加辅助线技巧

庄周燕

[摘要]辅助线在数学解题中起着重要的桥梁作用，通过添加适当的辅助线，可使解题过程由繁变简，由难变易.探寻添加辅助线的方法有实际意义.

[关键词]初中数学；辅助线；添加；技巧

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08002602

学生解决一些几何问题时，往往做着做着就遇到了瓶颈，这时需要改变解题思路，添加适当的辅助线，理顺已知和求证之间的联系，使解题过程由繁变简，由难变易.这一过程有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.

一、案例在线

例题：如图1所示，点P是等边△ABC外一点，∠APC=60°，PA、BC交于点D，求证：PA=PB+PC.

二、分析与证明

方法一

分析：

本题考查的是三条线段PA、PB、PC之间的数量关系，三条线段共有端点P，但又不在同一条直线上，因此考虑在最长的线段PA上截取线段AM与PC相等，接下来只要证线段BP与PM相等.而证明两条线段相等，通常证两个三角形全等，此时辅助线呼之欲出.连接BM，证明△ABM≌△CBP.进一步探究发现，△ABD和△CPD构成了一个“八字形”的图形，因为∠ADB=∠PDC以及三角形内角和等于180°，不难得出∠ABD+∠BAD=∠DPC+∠DCP.又因为∠ABD=∠DPC=60°，所以∠BAD=∠DCP.又因为△ABC是等边三角形，所以有AB=BC.对于此题来说，此时已经具备了证明两个三角形全等所需的三组对应条件，接下来证明水到渠成.

证明：

如图2所示在AP上截取AM=PC，

∵△ABC为等边三角形，

AB=BC，∠ABC=60°.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD.

又∵AM=PC，

∴△ABM≌△CBP（SAS），

∴∠ABM=∠PBC，BM=BP.

∵∠ABC=60°，

即∠ABM+∠MBC=60°.

∴∠PBC+∠MBC=60°.

即∠PBM=60°.

又BM=BP，

∴△BMP为等边三角形.

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

方法二

分析：

如果说方法一是通过将已知线段截取的方法来思考的话，我们还可以通过延长线段的方法加以解决，延长线段PC至F，使PF=PA，只要证PB=CF即可.接下来只需证△ABP≌△ACF，得BP=CF.难点得以突破，具体解答如下.

证明：如图3所示，

延长PC至F，使PF=PA，连接AF.

∵∠APC=60°，PF=PA，

∴△APF为等边三角形，

∴∠PAF=60°，AP=AF，

∴∠PAC+∠CAF=60°.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠CAF=∠BAP，

∴△ABP≌△ACF（SAS），

∴BP=CF.

∵PA=PF=PC+CF，

∴PA=PB+PC.

方法三

分析：

如果说上面的两种解法是从线段的角度加以考虑，我们还可以从角的角度分析，构造角相等.因为∠ABC=60°，我们作∠PBM=60°，此时∠ABC=∠PBM，通过在等式两边同时减去∠CBM，可得∠ABM=∠CBP，要证明两个角相等，同样可证两个三角形全等.BM这条辅助线，巧妙地连接未知和已知，使解题思路清晰，为证明本题创造了条件.

证明：

如图4所示，作∠PBM=60°，交AP于点M.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，AB=BC，

即∠ABM+∠MBC=60°.

又∵∠PBM=60°，

∴∠PBC+∠MBC=60°，

∴∠ABM=∠PBC.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD，

∴△ABM≌△CBP（ASA），

∴BM=BP，MA=PC.

又∠PBM=60°，

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

三、教學启示

本题考查的是两种常见图形（等边三角形和全等三角形）以及它们的性质和判定的应用，综合性较强，有一定的难度.但离不开我们证明线段相等或角相等常见的思维模式，即证两个三角形全等.当我们发现图中没有全等的三角形时，需要借助辅助线来解决，降低证明难度.而辅助线方法是多样的，需要我们总结规律，掌握辅助线添加的技巧，力求在解题中收到事半功倍的效果.

1.从基本图形中寻找“线”影.

本题全等三角形的构造是证明线段或角相等的关键，它给我们提供了一条思维途径，我们可从题目中抽象出基本图形，变为我们所熟悉的题型.虽然教材中关于全等三角形证明的习题较多，但试题往往源于教材又高于教材，所以需要我们平时在帮助学生打好基础知识的前提下，引导他们探寻解题规律，通过触类旁通，寻找辅助线的身影，提升学生的数学思维能力和解题能力，这样当学生再遇到此类问题时，就不会束手无策，而是能灵活和综合运用所学知识.

2.从解题积累中寻觅“线”路.

通过添加不同的辅助线，可得出不同的解题方法.辅助线虽千变万化，但并非无迹可寻.陶行知曾说：“接知如接枝.”我们要重视学生通过亲身实践，在一定感性认识的基础上，通过不断思考，达到知识的理解和触类旁通.解题经验的积累，有利于学生掌握好数学解题方法.一旦找到解题的切入点，打开思路，下面的问题就会顺利解决.若将所学辅助线的方法加以整理，形成一个完整的知识方法系统，就会成为学生取之不尽的源泉，对他们核心素养的培育起到促进作用.

3.从题目解读中发现“线”迹.

本题中∠APC=60°是一个关键条件.它想要传达什么数学信息，怎样将这个条件有效利用，找到最优的辅助线？需要我们从不同思维角度去寻觅解题的途径.通过对图形的观察与分析，揣摩出编者出题的意图，通过感悟出题的角度和方向，培养学生思维的广阔性.

辅助线在数学解题时起到非常好的桥梁作用.我们常说“学无定法”，辅助线的添加也是如此.同一道数学题，辅助线可能有不同的添加策略，到底选择哪种，需要学生加强训练，积累丰富的数学经验.让学生体验数学的思考方法和探寻之乐，这样在以后遇到难题时，才能得心应手.

（责任编辑黄桂坚）