庄周燕
[摘要]辅助线在数学解题中起着重要的桥梁作用,通过添加适当的辅助线,可使解题过程由繁变简,由难变易.探寻添加辅助线的方法有实际意义.
[关键词]初中数学;辅助线;添加;技巧
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)08002602
学生解决一些几何问题时,往往做着做着就遇到了瓶颈,这时需要改变解题思路,添加适当的辅助线,理顺已知和求证之间的联系,使解题过程由繁变简,由难变易.这一过程有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
一、案例在线
例题:如图1所示,点P是等边△ABC外一点,∠APC=60°,PA、BC交于点D,求证:PA=PB+PC.
二、分析与证明
方法一
分析:
本题考查的是三条线段PA、PB、PC之间的数量关系,三条线段共有端点P,但又不在同一条直线上,因此考虑在最长的线段PA上截取线段AM与PC相等,接下来只要证线段BP与PM相等.而证明两条线段相等,通常证两个三角形全等,此时辅助线呼之欲出.连接BM,证明△ABM≌△CBP.进一步探究发现,△ABD和△CPD构成了一个“八字形”的图形,因为∠ADB=∠PDC以及三角形内角和等于180°,不难得出∠ABD+∠BAD=∠DPC+∠DCP.又因为∠ABD=∠DPC=60°,所以∠BAD=∠DCP.又因为△ABC是等边三角形,所以有AB=BC.对于此题来说,此时已经具备了证明两个三角形全等所需的三组对应条件,接下来证明水到渠成.
证明:
如图2所示在AP上截取AM=PC,
∵△ABC为等边三角形,
AB=BC,∠ABC=60°.
在△ABD中,
∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,
即60°+∠ADB+∠BAD=180°.
在△PCD中,
∠APC+∠PDC+∠PCD=180°,
即60°+∠PDC+∠PCD=180°.
∵∠ADB=∠PDC,
∴∠BAD=∠PCD.
又∵AM=PC,
∴△ABM≌△CBP(SAS),
∴∠ABM=∠PBC,BM=BP.
∵∠ABC=60°,
即∠ABM+∠MBC=60°.
∴∠PBC+∠MBC=60°.
即∠PBM=60°.
又BM=BP,
∴△BMP为等边三角形.
∴PM=BP,
∵PA=PM+MA,
∴PA=PB+PC.
方法二
分析:
如果说方法一是通过将已知线段截取的方法来思考的话,我们还可以通过延长线段的方法加以解决,延长线段PC至F,使PF=PA,只要证PB=CF即可.接下来只需证△ABP≌△ACF,得BP=CF.难点得以突破,具体解答如下.
证明:如图3所示,
延长PC至F,使PF=PA,连接AF.
∵∠APC=60°,PF=PA,
∴△APF为等边三角形,
∴∠PAF=60°,AP=AF,
∴∠PAC+∠CAF=60°.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∴∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠CAF=∠BAP,
∴△ABP≌△ACF(SAS),
∴BP=CF.
∵PA=PF=PC+CF,
∴PA=PB+PC.
方法三
分析:
如果说上面的两种解法是从线段的角度加以考虑,我们还可以从角的角度分析,构造角相等.因为∠ABC=60°,我们作∠PBM=60°,此时∠ABC=∠PBM,通过在等式两边同时减去∠CBM,可得∠ABM=∠CBP,要证明两个角相等,同样可证两个三角形全等.BM这条辅助线,巧妙地连接未知和已知,使解题思路清晰,为证明本题创造了条件.
证明:
如图4所示,作∠PBM=60°,交AP于点M.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=BC,
即∠ABM+∠MBC=60°.
又∵∠PBM=60°,
∴∠PBC+∠MBC=60°,
∴∠ABM=∠PBC.
在△ABD中,
∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,
即60°+∠ADB+∠BAD=180°.
在△PCD中,
∠APC+∠PDC+∠PCD=180°,
即60°+∠PDC+∠PCD=180°.
∵∠ADB=∠PDC,
∴∠BAD=∠PCD,
∴△ABM≌△CBP(ASA),
∴BM=BP,MA=PC.
又∠PBM=60°,
∴PM=BP,
∵PA=PM+MA,
∴PA=PB+PC.
三、教學启示
本题考查的是两种常见图形(等边三角形和全等三角形)以及它们的性质和判定的应用,综合性较强,有一定的难度.但离不开我们证明线段相等或角相等常见的思维模式,即证两个三角形全等.当我们发现图中没有全等的三角形时,需要借助辅助线来解决,降低证明难度.而辅助线方法是多样的,需要我们总结规律,掌握辅助线添加的技巧,力求在解题中收到事半功倍的效果.
1.从基本图形中寻找“线”影.
本题全等三角形的构造是证明线段或角相等的关键,它给我们提供了一条思维途径,我们可从题目中抽象出基本图形,变为我们所熟悉的题型.虽然教材中关于全等三角形证明的习题较多,但试题往往源于教材又高于教材,所以需要我们平时在帮助学生打好基础知识的前提下,引导他们探寻解题规律,通过触类旁通,寻找辅助线的身影,提升学生的数学思维能力和解题能力,这样当学生再遇到此类问题时,就不会束手无策,而是能灵活和综合运用所学知识.
2.从解题积累中寻觅“线”路.
通过添加不同的辅助线,可得出不同的解题方法.辅助线虽千变万化,但并非无迹可寻.陶行知曾说:“接知如接枝.”我们要重视学生通过亲身实践,在一定感性认识的基础上,通过不断思考,达到知识的理解和触类旁通.解题经验的积累,有利于学生掌握好数学解题方法.一旦找到解题的切入点,打开思路,下面的问题就会顺利解决.若将所学辅助线的方法加以整理,形成一个完整的知识方法系统,就会成为学生取之不尽的源泉,对他们核心素养的培育起到促进作用.
3.从题目解读中发现“线”迹.
本题中∠APC=60°是一个关键条件.它想要传达什么数学信息,怎样将这个条件有效利用,找到最优的辅助线?需要我们从不同思维角度去寻觅解题的途径.通过对图形的观察与分析,揣摩出编者出题的意图,通过感悟出题的角度和方向,培养学生思维的广阔性.
辅助线在数学解题时起到非常好的桥梁作用.我们常说“学无定法”,辅助线的添加也是如此.同一道数学题,辅助线可能有不同的添加策略,到底选择哪种,需要学生加强训练,积累丰富的数学经验.让学生体验数学的思考方法和探寻之乐,这样在以后遇到难题时,才能得心应手.
(责任编辑黄桂坚)