基于批量折扣的两竞争零售商的供应链定价与协调

韦才敏，林先伟，艾良亭

（汕头大学数学系，广东 汕头 515063）

0 引言

随着网络经济与科学技术的快速发展，企业面临的供应链管理与控制问题越来越复杂.如何制定科学的供应链决策，给企业管理者带来了极大的挑战.而如何协调供应链成员中的利润分配与决策是供应链管理面临的最大挑战之一[1]，解决该问题的重要手段是制定合理的定价与协调策略.供应链的定价与协调问题已经成为供应链管理的热门课题之一.

当前，国内外众多学者都对供应链中产品的最优定价与成员之间的协调进行了研究，针对单制造商与两竞争零售商组成的二级供应链，且两个零售商在价格与服务水平方面相互竞争，Giri和Sarker[2]研究了供应链的协调问题.当两个零售商在价格方面相互竞争，需求受到破坏时，Zhang等[3]通过收益共享策略实现供应链的协调.针对制造商的成本及需求受到破坏、且零售商在价格方面相互竞争时，Xiao和Qi[4]研究了数量折扣策略下供应链协调.王文宾等[5]研究了集中决策和分散决策下的三种渠道权利结构下闭环供应链的定价问题，并运用二部定价契约探讨了不同渠道权利结构下闭环供应链的协调.易余胤等[6]研究了在销售渠道和回收渠道均存在冲突情况下的闭环供应链的协调与定价.胡东波和翟雯瑶[7]对双渠道供应链中的定价策略以及协调方法的研究现状进行综述，比较需求函数的影响因素，分类定价的不同策略.郑克俊[8]研究了再造产品与新产品存在零售价格差异，以及废旧产品存在回收价格差异时闭环供应链的定价与协调.曹晓刚等[9]研究了闭环供应链的定价与协调，并通过收入费用共享契约，实现了闭环供应链的协调.吴献金和杨泽寰[10]研究了针对单制造商与多零售商组成的供应链，当成本和需求同时扰动时的供应链协调.马慧等[11]考虑混合渠道结构下，将第三方物流服务提供商引入供应链中，利用博弈理论模型研究了供应链的渠道定价与协调性.Chen和Bell[12]研究了分散策略下，通过回购契约实现供应链的协调.Sinha和Sarmah[13]建立了没有供应链协调的价格竞争模型、具有协调性的价格竞争模型及全局协调模型，研究发现，在一定条件下通过价格的动态调整，可以实现Nash-Bertrand均衡.

虽然以上文献大量的研究了二级供应链的定价策略与协调，但主要集中在单制造商与单零售商组成的二级供应链，未考虑产品的批量折扣问题.然而，实际中，制造商往往将产品的批发价格与零售商的订购量相联系，即提供适当的批量折扣计划.本文在面向订单生产模式下，研究了两个零售商在价格方面相互竞争、且其需求是随机波动时、同时制造商对产品批量折扣下的供应链的定价与协调问题.对集中决策与分散决策进行一定的讨论，获得了相应情形下，供应链成员的最优决策.并通过收益共享策略，实现了供应链成员及整个供应链利润最大化，最后通过数值实验，分析和讨论了批量折扣与竞争对供应链成员决策、成员利润及整个供应链利润的影响.

1 基本模型

1.1 假设和符号说明

如图1所示，基于MTO生产模式，以单制造商和两竞争零售商组成的二级供应链为研究对象，供应链成员的信息完全共享.首先，市场客户面临需求，向零售商订购产品，客户可以自愿选择两家零售商中的一个；零售商将订单上传给上游的制造商.其次，制造商根据客户的要求进行生产.最后，制造商将批量的产品分别交货给两个不同的零售商，零售商将产品交给各自的客户.

图1 供应链结构

所涉及的参数与变量如表1（i＝1，2）.

表1 符号说明

假设市场的需求服从文献[14]中的线性随机需求模型，且两个零售商在价格方面相互竞争，即

其中，ai表示第i个零售商潜在的市场需求表示第i个零售商的客户对价格的敏感强度，θ表示可替代性参数，即衡量第i个零售商的零售价格与对方相比，对其市场需求量的影响，假设假设需求随机波动εi服从［-A，A］上均值为0，方差为δ2的随机分布，其概率密度函数与分布函数分别为f（x）和F（x）.

1.2 模型分析

在单制造商和两竞争零售商组成的二级供应链中，假设在制造商—Stackelberg博弈框架下：制造商为领导者，其向第i个零售商提供产品的批发价格ωi（Dri），而两个零售商为跟随者，即服从制造商的要求，并且设置各自产品的零售价格.在MTO生产模式下，两零售商、制造商与整个供应链的利润分别如下：

2 批量折扣下的供应链协调性分析

在传统的供应链协调模型中，在MTO生产模式下，假定产品的批发价格与零售商的订购量是无关的，而现实中商家为了促销往往将产品的批发价格与订购量相联系，即零售商订购量越多，制造商提供的批发价格越低，这就是所谓的批量折扣.在这种策略下，零售商该如何制定最优的零售价格，及零售商该如何确定最优的收益分享比例，使得供应链的成员及整个供应链达到双赢、供应链成员之间实现协调是供应链管理所研究的重要内容.

假设制造商提供的产品的批发价格ωi（Dri）是关于Dri的函数，且制造商对产品的批发价格有一定的折扣[15]，其折扣计划如下：

其中，ωi（Dri）表示不同阶段的批发价格，且a1＞a2.Dj（j＝1，…，m-1）表示各阶段制造商给出折扣计划的生产量标准.参数 αi＜0，βi＞0（i＝1，…，m）表示制造商对需求量的敏感强度。这里，我们仅讨论m＝2的情况.

2.1 集中决策

在集中决策下，假设有一个决策者，其掌握了整个供应链的所有信息，且有权利代表整个供应链做出决策[2]，该决策者不是将供应链各自成员的利润作为决策目标，而是以整个供应链的利润为目标，来制定最优的零售价格，实现供应链整体利润的最大化.此时，整个供应链的期望利润如下：

定理1在集中决策下，整个供应链的期望利润是关于零售价格p1，p2的严格凹函数，存在唯一的最优的零售价格为：

供应链整体利润最大值为：

证明：对式（6）关于p1，p2求一阶偏导数，可得

对式（6）关于p1，p2求二阶偏导数，可得

因为bi＞θ＞0，所以方程（11）的Hesse矩阵是负定的，即是关于零售价格 p1，p2的严格凹函数.

令

可得方程（7），将最优零售价格代入（6）式，可以得到整个供应链利润最大值证毕

推论1在集中决策下，当满足以下情况之一时，最优零售价格p*i（i＝1，2）是增加的：

（1）产品的生产成本c增加；

（2）潜在市场需求量a1，a2增加；

（3）可替代性参数θ减少；

（4）客户对价格的敏感强度减少.

证明：由方程（7）分别关于参数求一阶偏导数，显然易得.证毕.

推论2在集中决策下，对于当满足以下情况之一时，供应链整体利润最大值是增加的：

（1）产品的生产成本c减少；

（2）可替代性参数θ减少；

（3）潜在市场需求量a1，a2增加

（4）客户对价格的敏感度减少

证明：由方程（8）分别关于参数求一阶偏导数，显然易得.证毕

从推论1及2可以发现，最优零售价格随着 a1，a2，c 的增加而增加，随着的增加而减少，这与实际情况相符合.当两个零售商关于价格的竞争更加激烈时，商家会通过降低零售价格来增加需求量，从而获得更大的利润，当两个零售商关于价格的竞争变小时，商家可以适当提高零售价格，从而获得更大的利润.当客户对价格的敏感程度增加时，商家会适当的降低零售价格来刺激需求，当客户对价格的敏感程度降低时，商家可以适当的提高零售价格来获得更多的利润.同理，当市场的潜在需求量增加时，商家可以适当提高零售价格来获得更大的利润，而市场的潜在需求量减少时，商家需要减少零售价格来刺激消费者购买，能给其带来更多的收益.

2.2 分散决策

在分散决策下，零售商（或制造商）在决策过程中以自身的利润作为决策目标，而不以整个供应链的利润最大化为目标，通过制定最优的零售价格（或批发价格），实现制造商自身利润的最大化，在制造商—Stackelberg博弈框架下，来讨论供应链成员的决策性问题.可得零售商的利润如下：

可得零售商的期望利润如下：

将方程（13）改为以下形式：

其中

在批量折扣策略下，Ψ（pi，p3-i）表示需求的确定部分所带来零售商的期望利润，L（δ）（＞0）表示市场需求的随机波动所带来零售商的期望利润.在MTO生产模式下，由上式可以发现零售商在需求波动中获益，需求波动性越大对零售商越有利.

定理2在分散决策下，两个零售商的期望利润是关于零售价格p1，p2的严格凹函数，存在唯一的最优的零售价格为：

证明：对方程（13）关于p1，p2求一阶偏导数，可得

对方程（13）关于p1，p2求二阶偏导数，可得

因为bi＞θ＞0，所以方程（18）的Hesse矩阵是负定的，即是关于零售价格 p1，p2的严格凹函数.

令

可得式（15）.证毕

同样，我们可以得到制造商的期望利润如下：

由于αi＜0，由式（19）可知，需求波动会导致制造商的期望利润减少，从而对制造商是不利的.

在分散决策下，将式（15）中的最优零售价格代入式（19），可求得制造商的利润最大值与对应的最优的制造商对需求的敏感参数从而可获得最优批发价格

将代入式（15）中的最优零售价格再将其代入式（6），可得分散决策下，当制造商与零售商的利润各自达到最大时，整个供应链的利润为：

其中，最优零售价格是式（14）中的，且

由定理1可知，集中决策下，最优零售价格是唯一的，但是所以这表明分散决策下，两个零售商的利润达到最大或制造商的利润达到最大时，而整个供应链利润却不能达到最大值.此时，不能实现供应链成员之间的协调.因此，接下来通过收益共享策略来实现供应链成员之间的协调.

2.3 收益共享契约

在集中决策下，整个供应链利润达到最大化，在分散决策下，供应链的成员利润都达到最大，整个供应链利润并未达到最大.而制造商与零售商作为供应链的成员都是理性而自私的，在整个供应链利润最大的前提下，实现成员之间的协调是很有必要的.由于MTO生产模式的高个性化，加大了市场需求的波动性.当需求减少时，在批量折扣下，产品的批发价格会上升；当需求增加时，产品的批发价格会下降.由式（13）与式（16）可知，零售商在需求波动中获益，需求波动对制造商却是不利的，因此，在制造商-Stackelberg博弈框架下，需求波动所造成的利润减少是由制造商承担的.那么，制造商会通过抬高产品的批发价格提高自己的收益，从而降低利润减少带来的影响.在收益共享策略下，由于是供应链成员共同承担风险和收益的，那么在决策过程中是以整个供应链的期望收益最大化的前提下也能够使得供应链成员的期望收益最大来制定收益共享均衡比例，从而实现供应链成员之间的协调.再通过制定最优的零售价格，实现零售商自身利润的最大化.假设第i个零售商分享给制造商收益比例为φi，其保留收益的1-φi部分.在收益共享契约下，零售商的利润为：

可得零售商的期望利润如下：

定理3在收益共享契约下，两个零售商的期望利润是关于零售价格p1，p2的严格凹函数，存在唯一的最优的零售价格为：

证明：类似定理2的证明，即可证得.

定理4在收益共享契约下，供应链成员及整个供应链的利润达到最大时，收益分享均衡比例为：

其中

证明：令

并做方程（25）的代换，可得

由代数学的基本知识，可解得方程（24）.证毕

3 数值分析

接下来，通过数值实验更加具体的分析前面已经取得的解析结果，及各个参数对不同决策下零售商的最优零售价格、供应链各个成员及整个供应链的最大利润、零售商的最优收益分享比例的影响，如图2～7，表1～3：

假设制造商M和零售商Ni（i＝1，2）组成一个二级供应链，两零售商在零售价格方面相互竞争，并按照订单要求进行生产.不失一般性，假设零售商N1与零售商N2的市场日潜在需求量分别为a1＝120，a2＝100，市场的需求随机波动εi服从[-10，10]上均值为0，方差为δ2＝100的均匀分布，产品的单位生产成本c＝20，其它的参数如下：

从图2、3、4可知，在制造商对需求的敏感度为α1＝-0.05，β1＝80，在集中决策下，第i个零售商的最优零售价格与其利润都随着可替代性参数的增加而降低，第2个零售商的最优零售价格与其利润都随着可替代性参数的增加而增加，制造商利润随着可替代性参数的增加而不变，整个供应链利润随着可替代性参数的增加而减小，表明零售商关于价格相互竞争对整个供应链是有利的；在分散决策下，两个零售商的最优零售价格随着可替代性参数的增加而增加，而其利润随着可替代性参数的增加而减小，制造商利润随着可替代性参数的增加而增加，整个供应链利润随着可替代性参数的增加而先增加后减小，表明适当的竞争对整个供应链是有利的.

图2 可替代性参数对最优零售价格的影响

图3 可替代性参数对集中决策下供应链成员利润影响

图4 可替代性参数对分散决策下供应链成员利润影响

图5 制造商对需求敏感度对供应链成员利润影响

图6 制造商对需求敏感度及可替代性参数对分散决策下供应链成员利润的影响

图7 制造商对需求敏感度及可替代性参数对收益共享决策下制造商利润的影响

从图5、6可知，在制造商对需求的敏感度参数β1＝80，可替代性参数为θ＝0.5时，在分散决策下，制造商利润随着其对需求敏感度α1的增加而增加；零售商利润随着制造商对需求的敏感度的减少而增加，整个供应链利润均随着制造商对需求的敏感度的增加而先增加而后减小.表明分散决策下，适当的降低产品的批发价格对整个供应链是有利的.

从图7可知，在制造商对需求的敏感度为β1＝40，在收益共享决策下，制造商利润随着可替代性参数的增加而增加，随着制造商对需求的敏感度的减少而增加，这表明零售商关于价格相互竞争对制造商是有利的，制造商对需求越敏感对其越不利.

接下来讨论收益共享策略下，制造商对需求敏感度及可替代性参数对零售商的最优收益共享比例的影响，假设制造商对需求的敏感度为β1＝40.

表2 制造商对需求敏感强度对最优收益共享比例的影响

表3 可替代性参数对最优收益共享比例的影响

从表2、3可知，在可替代性参数θ＝0.5时，两个零售商的最优共享比例随着制造商对需求的敏感度的增加而减小，且第1个零售商的减小幅度大于对应第2个零售商的；在制造商对需求的敏感度参数α1＝-0.05时，两个零售商的最优共享比例随着可替代性参数的增加而增大，且第1个零售商的最优共享比例小于对应第2个零售商的.

表4 可替代性参数对分散决策及收益共享决策下整个供应链最大利润的影响

从表4可知，在制造商对需求的敏感度α1＝-0.05时，收益共享策略下，整个供应链利润的最大值随着可替代性参数的增加而减小，其大于对应分散决策下整个供应链利润最大值，表明此策略下，能实现供应链成员利润最大化，同时也能使供应链成员之间达到很好的协调.

以上分析与所得的解析结果及实际情况相符合的，供应链成员市场需求越多，其相应的最优零售价格越高.集中决策下，以整个供应链利润为决策目标，关于价格竞争越激烈，对市场需求量多的零售商越不利，其可以通过适当的降低零售价格来减小竞争所带来的损失.分散决策下，由于整个供应链各个成员利润为决策目标，那么关于价格竞争越激烈，两个竞争的零售商都需要适当的降低零售价格来减小竞争所带来的损失，在两个零售商相互竞争的同时，制造商在其中获得大量利润.制造商可以通过对产品的批发价格适当打折，来减少竞争对整个供应链带来的影响.由于收益共享策略下，零售商在价格方面相互竞争带来的影响制造商会承担一部分；而分散决策下，相互竞争所带来的影响是由两个零售商承担的，制造商在竞争中获利，适度竞争对整个供应链有利的，过度的竞争对其却不利.因此，收益共享策略下，供制造商利润会随着可替代性参数的增加而增加，且其幅度小于分散决策下的.

根据以上的数值分析，在批量价格策略下，可以得到以下管理意义：第一，制造商对需求量越敏感，零售商分享给制造商收益的比例越高、整个供应链利润越大，即对零售商越不利、对制造商及整个供应链反而越有利；零售商关于价格竞争越激烈，零售商分享给制造商收益的比例越高，且增加量呈减小的趋势.第二，在分散决策下，零售商关于价格竞争越激烈，整个供应链的利润越大，而收益共享策略下，零售商关于价格竞争对整个供应链利润影响不大，这是由于在该策略下竞争是由供应链成员共同承担的.第三，在分散决策下，制造商对需求量越敏感，零售商利润越小、制造商及整个供应链利润越大.

4 结论

实现供应链利润最大化及协调性是当下研究的重要问题.以往对供应链协调及成员利润最大化的研究主要针对单制造商与单零售商组成的二级供应链，且未考虑产品的批量折扣.本文讨论两个零售商在价格方面相互竞争，按照客户要求进行生产，且其面临的市场需求是随机波动，探讨基于批量折扣的最优零售价格、最优收益分享比例，以实现供应链成员及整个供应链利润的最大化、达到供应链成员之间的协调.

首先，基于批量折扣，探讨了集中决策与分散决策下，两竞争零售商各自最优零售价格.研究发现，分散决策下，供应链成员只关注自己利润的最大化，两个零售商在价格方面相互竞争对其自身是不利的，而制造商在竞争中获利，此时适度的竞争对整个供应链是有利的.制造商对产品进行适当的折扣，可以减少零售商之间的竞争对整个供应链的影响.其次，发现集中决策下，两个零售商在价格方面竞争越激烈，越不利于整个供应链，同时整个供应链的利润能实现最大化，但供应链的成员利润并未达到最大.因此，不能实现供应链成员之间的协调.最后，收益共享策略下，获得了零售商的最优收益共享比例，实现了供应链成员之间的协调，又保证了整个供应链利润的最大化.同时，发现制造商可以适当的对产品进行打折来减少竞争所带来的影响.

通过数值实验进行验证，发现所取得的结果与实际情况的一致性，即两个零售商在价格方面竞争越激烈，对其自身越不利；而其可以适当的降低零售价格来减少竞争带来的影响.在收益共享策略下，可以增加零售商的收益共享比例与制造商适当的批量折扣，来减少竞争带来的影响；或适当的增加收益共享比例，来减少制造商对产品进行适当的打折带来的影响.同时，针对批量价格策略，可以得到一些重要的管理见解：分散决策及收益共享策略下，制造商对需求量越敏感，对零售商越不利、对制造商及整个供应链反而越有利.特别是收益共享策略下，由于竞争是供应链成员共同承担，因此，此策略下竞争对整个供应链利润影响不大.由于多段处理的复杂性，仅限于对多段的折扣进行了部分分析，下一步工作着重于将多段的批量折扣引入供应链管理决策与协调机制中，使其与实际情况更加符合.

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