充分挖掘和利用圆的隐性功能

冯 寅

(浙江省湖州中学 313000)

圆是高中阶段学习的曲线中比较基本的一种，我们更多的是研究圆和直线、圆和圆之间的关系，对圆本身的特点和性质重视不够.其实圆隐含着一些特殊的性质和特点，这些性质和特点并没有引起我们的足够关注，如圆的方程形式的特点、圆的有界性的作用，圆的几何性质等等，它可以在解决和圆相关的问题时发挥特殊的作用.

一、圆的形式功能

圆的方程具有特殊的形式，它是满足一定条件的二元二次方程.在我们遇到的许多问题中都会出现二元二次方程的形式，如果我们能够联想圆的方程的形式，利用方程形式的特点来转化问题，会使问题找到新的思路.

对已知条件变形，我们得到：

它就是圆的标准方程的形式，通过三角代换得：

又(1)式可变为

那么，由(3)-(1)得：

因此，f(0)+f(2017)=f(0)+f(1),

分析记单位向量a,b的夹角为θ，由|ax+by|=1得：x2+y2+2xycosθ=1，

即(x+ycosθ)2+(ysinθ)2=1,这就是圆的标准方程的形式.

整理得64cos2θ-60cosθ+11≤0，

感悟圆的方程主要有标准方程和一般方程，标准方程更能体现圆的特点和性质，所以当我们遇到二元二次方程时，我们就可以考虑通过配方，整理成圆标准方程的形式，然后利用三角代换，把所要解决的问题转化为三角函数的问题，充分利用三角函数的性质来加以解决.

二、圆的有界功能

圆是封闭的曲线，所以和圆相关的很多元素都是有界的，如圆的弦长、圆方程的坐标等等，若利用这些有界的性质就能很好地解决一些问题.

问题3 已知实数a,b,c，那么下列结论正确的是( ).

A.|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2≤100

B.|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，则a2+b2+c2≤100

C.|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，则a2+b2+c2≤100

D.|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，则a2+b2+c2≤100

分析本题首先要正确理解题意，从每个选择支的结构可以看出，问题的核心是哪个条件能保证a,b,c是有界的.我们从绝对值的概念来加以分析思考.

又|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1表示，a2+b到-c的距离与a+b2到c的距离之和小于1.因为a,b都有界，则a2+b,a+b2都有界，那么c也有界，因此a2+b2+c2有界.选D.

感悟圆的弦长的变化，是圆的图形封闭性的最好体现，我们经常把一些和线段的取值范围有关的的问题，转化为圆的弦长的问题，或者是圆外一点到圆上一点的距离等问题，然后可以利用过圆心的弦的特点来解决.

三、圆的角度功能

圆有许多的几何性质，其中有关角度的一些性质具有一定的特殊性，如直径和圆周角，圆周角和圆心角等等的关系，合理地应用这些关系，也可以开阔我们的思路，为我们解决问题提供帮助.

问题5 已知平面向量a,b(a≠0,a≠b)满足|b|=1，且a与b-a的夹角为120°，则|a|的取值范围是____.

由题意可知：在△OAB中，|OB|=1且∠A=60°，满足这样条件的三点一定在一个确定的圆上.

分析这看似一个向量的问题，其实包含了许多圆的元素，充分挖掘这些元素是解决这个问题的关键.

感悟圆的几何性质中有关角度的问题较为隐蔽，其中直角是最为特殊的情况，定弦对定角的形式也多见，而且圆的性质往往还和向量紧密联系在一起，向量的模和圆的半径，向量的夹角和圆周角等等常见的联系，会让我们有更多更广的联想空间.

我们学习圆更多的是关注圆自身的变化，其实圆有许多隐含的特点，我们若能挖掘和利用好圆的隐性功能，一定能使我们的问题解决锦上添花.

参考文献：

[1]顾长清.挖掘隐性圆寻求优美解[J].高中数学教与学，2015(3).