对一道中考数学压轴题的探究和推广

广东省江门市新会区会城河南初级中学 李全欢

广州市2016年中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体，以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心，着重考查了与圆相关的几何知识、三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容。笔者以下特分享对2016年广州市中考数学压轴题的多解分析与加强推广，促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展。

一、相关试题的描述

图1

试题：如图1，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°。

（1）求证：BD是该外接圆的直径；

（2）连接CD，求证：AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。

二、相关试题的剖析

1.第一问的证明方法

证明：因为 ，所以∠ACB=∠ABD，又∠ACB=∠ABD=45°， 所以∠ADB=∠ABD=45°，则在△ABD中，∠BAD=90°，所以BD是△ABD外接圆的直径。

【评析】第一问考查了圆的相关知识，特别是学生比较熟悉的“90°的圆周角所对弦是直径”的性质定理，让大部分考生能心平气和地顺利解决，为下面更好地展开第二问和第三问做了良好的铺垫，体现了试题由浅入深、逐步递进的命题特色，符合学生认知发展的规律。

2.第二问的证法

图2

证明：如图2（将△ADC绕点A顺时针旋转90°），因为∠ADB=∠ABD=45°，所以AB=AD，∠BAD=90°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABC'，所以AC'=AC，∠C'AC=90°，C'B=CD，∠ABC'=∠ADC，又四边形ABCD的顶点在同一圆上，所以∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC'+∠ABC=180°，即C'，B，C在同一直线上，则在Rt△C'AC中，AC'2+AC2=CC'2，即2AC2=CC'2，所以又CC'=BC+C'B=BC+CD，所以AC=BC+CD。

【评析】第二问的证法通过三角形旋转和构造全等三角形，将线段BC与CD拼接在同一直线上，再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论。

3.第三问的探究结论是以下分享其中一种相关证法

证法：（延长MB交△ABD的外接圆于点N，构造Rt△MND）

图3

如图3，延长MB交△ABD外接圆于点N， 连 接DN，AN， 因 为∠ANB=∠ACB=45°，又△ABC与△ABM关于直线AB对称，所以∠ACB=∠AMB=45°，则∠ANB=∠AMB=45°，所以AM=AN，∠MAN=90°，则在Rt△MAN中，MN2=AM2+AN2，即MN2=2AM2；又AM=AC，所以AN=AC，则又AB=AD，则DN=BC，又BC=BM，所以DN=BM，因为BD是△ABD外接圆的直径，所以∠AMB=90°，则在Rt△MND中，DM2=MN2+DN2=2AM2+BM2，所以DM2=2AM2+BM2。

【评析】第三问的这种证法分别通过延长线段引出垂直、三角形旋转和作线段垂直且相等的方法来构造直角三角形，再将DM2，AM2，BM2构造在同一直角三角形中，最后根据勾股定理解决问题。

通过对广州市2016年中考数学压轴题的多解分析与加强推广，笔者发现此题可作为研究性教学的素材，对本题进行研究性教学时，学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点，研究试题的解法以优化解题策略和方法。总之，初中数学的主要任务不仅是学知识，也要增强数学素质，优化思维结构，注意思想方法和能力的提升。

[1]梁文威.对2013年广东高考数列题的探究及推广[J].广东教育，2013（9）：36-37.

[2]唐潇妮.教育的真谛[J].广东教育，2016（11）：72.