格林公式及其应用

摘 要：格林公式表达了平面区域D上的二重积分与D的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联系，是计算曲线积分的重要方法. 本文主要介绍了几个利用格林公式计算积分的方法.

关键词：封闭曲线； 格林公式；有向曲线；二重积分；第二型曲线积分

1 引言

一元微积分学中的牛顿-莱布尼茨公式在计算积分中起着十分重要的作用， 无独有偶，格林公式 是多元函数积

分学中的重要公式，它给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的第二型曲线积分与它们所包围区域上的二重积分的关系.在第二型曲线积分的计算中，我们经常遇到积分路线用参数方程转化为定积分的计算比较麻烦的情况，这时候我们可以考虑利用格林公式简化积分计算；同样，当利用二重积分计算平面图形D的面积较为复杂时，我们可以想办法利用格林公式化为第二型曲线积分来解决.

2 格林公式的几种应用

2.1 利用格林公式求平面区域D的面积

在格林公式中，令P=-y，Q=x，则得到一个计算平面区域D的面积的公式：

（1）

当利用二重积分计算面积较繁琐时，我们可以利用公式（1）用曲线积分来计算.

2.2 利用格林公式计算第二型曲线积分

当（1）式中P（x，y），Q（x，y）形式比较复杂时，若 较为简单或为0

时，当被积函数满足格林公式的条件，可利用格林公式化曲线积分为二重积分.

1.若封闭曲线存在，则直接计算.

2对于计算非封闭曲线积分，当所给曲线积分中的P（x，y），Q（x，y）符合格林公式的条件时，可取较简单的曲线 组成闭合曲线，再利用格林公式计算.

2.3 利用格林公式计算复连通区域曲线积分

1.如果所给的有向曲线满足封闭的条件，但不满足格林公式所要求的函数P（x，y），Q（x，y）， ， 在曲线L所围成的有界平面闭区域D上连

续的条件，这时可以先把曲线L的方程代入该曲线积分，若代入后的曲线积分满足格林公式的条件，则可用格林公式继续化简.

例1计算曲线积分 ，其中L为圆周x2+y2=a2且沿顺时针方向.

解： 有x2+y2=a2

2.如果沿封闭曲线L的积分方程代入曲线L的方程后，仍在L所围成的区域D上存在某些点或者存在某些子区域，使得P（x，y），Q（x，y），

， 在其上不连续，而在D的其他区域都连续，且 . 这时可以构造

一条有向闭曲线 ，把使得P（x，y）， ， 不连续的那些点或子

区域包含在 所围的区域内，则此时原封闭曲线L和新构造的有向闭曲线 所围成的复连通区域满足格林公式，我们可以利用这一点求出原曲线积分.

例2计算 ，其中L为单位圆周x2+y2=1，逆时针方向.

解：记 ，则当 时，P、Q

具有连续的偏导数且

取 充分小，使之满足曲线 所围的区域完全包含在L所围的区域内，C的方向取顺时针方向，记L与C所围的区域为D，则由格林公式，得

因此

由于的参数方程为 ，则

3结束语

本文主要介绍了格林公式在计算第二型曲线积分和二重积分中的应用， 我们既可以利用格林公式将某些曲线积分变得简单易实现，也可以利用格林公式对某些二重积分进行化简. 但是利用格林公式计算积分时必须满足一定的条件，这样才能正确地使用格林公式 .本文主要介绍了格林公式在三种情况下的使用，通过上述分析， 我们可以看出格林公式沟通了平面区域D上的二重积分和其边界L上的曲线积分之间的联系，故可以起到由此及彼，由彼及此简化两种运算的作用.需要注意的是，格林公式在使用时要看曲线L是否取正向、是否封闭；

是否在D内连续，否则不能直接运用格林公式.

在实际应用中会碰到许多难以用参数方程的方法去求解或者解决起来很麻烦的积分， 利用格林公式计算是一个有效的方法. 本文结合具体实例介绍了此公式的几种应用，并探究了格林公式的使用条件，所以本文具有一定的实用价值.

參考文献：

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册（第三版）[M].北京：高等教育出版社， 2001：224—232.

[2] 刘金华. 格林公式实用价值初探[J].中州大学学报，1995（3）：64-67.

[3] 李波. 利用格林公式计算积分[J].重庆与世界，2011（7）：92-94.

[4] 陈晋，王丹. 格林公式应用中有关问题的分析[J]. 高等函授学报（自然科学版），2012（5）：66-67.

[5]冀利英. 浅谈格林公式的巧妙使用[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011（7）：15-16.

作者简介：

于辉（1996—），男，汉族，山东德州人，济南大学土木建筑学院土木工程专业本科生。