微积分基本公式在四维空间中的推广

白添瑞

摘 要：Stokes公式是一般的积分公式，Stokes公式的一维形式上就是微积分基本N-L公式，二维情形上则是Green公式，三維空间上是Gauss公式，在曲面上表现为通常意义上的Stokes公式。所以思考由低维向高维公式的转换思想以及一般的Stokes公式的证明，实现Stokes公式在四维空间上的推广，并将所得结果和一般的Stokes公式进行对比，验证其正确性。

关键词：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四维空间推广

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式这个公式在数学分析中有着非常重要的地位，纵观这几个公式之间有着共同的特点：

（1）他们基本上是把从区间或区域上的计算转化到边界上计算，如Green公式是从平面区域转化到边界曲线L上的；

（2）他们分别是从一维空间到二维空间再到三维空间上的转换.

根据以上叙述，我们发挥发散性思维：是否可以推广到思维空间呢？以下将对此问题进行研究。

2 预备知识

2.1 N-L基本公式

设f 是[a，b] 上连续，设F 是f 在[a，b] 上的一个原函数，则：

（2.1）

公式（2.1）就称之为N-L（牛顿-莱布尼兹）公式。

2.2Stokes公式

设S为光滑曲面或分片光滑的双侧曲面，其边界为光滑或分段光滑闭曲线 ，若P（x，y，z） ，Q（x，y，z） 与R（x，y，z） 在S 及其边界 上具有连续偏导数，则有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S 的诱导定向。

3 三维空间内的Stokes公式的推广

Stokes公式是Green公式的推广. Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而Stokes公式则把曲面Σ上的曲面积分与沿着Σ 的边界曲线的曲线积分联系起来. 下面的公式就叙述这种关系.

定理3.2.1：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ 是以Γ 为边界的分片光滑的有向曲面， Γ 的正向与Σ的侧符合右手规则， 函数P（x，y，z） ，Q（x，y，z） ，R（x，y，z） 在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数， 则有公式

上式叫做Stokes公式.

证明 设Σ与平行于z轴的直线相交不

多于一点， 并Σ取上侧，有向曲线C为Σ

的正向边界曲线Γ在xoy 的投影.且所围区

域Dxy. 如右图.

证明的思路是： 设法把曲面积分

化为闭区域Dxy 上的二重积分，然后通过

Green公式使它与曲线积分相联系.

根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有

当Σ为z=f（x，y） ，（x，y）∈Dxy 时，有向曲面Σ的法向量的方向余弦为

因此 ， 于是

即

上式右端的曲面积分化为二重积分时， 把P（x，y，z） 中的z 用f（x，y） 来代替. 因为由复合函数的微分法，有

所以， 我们得到

（13-7-1）

根据Green公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy 的边界C的曲线积分：

于是立即可得

因为函数P[x，y，f（x，y） 在曲线C上点（x，y） 处的值与函数P（x，y，z） 在曲线Γ 上对应点（x，y，z）处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分 . 因此

. （3.2）

同理可证

于是立即可得

.

证毕.需要注意的是：

（1）如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么（3.2）式两端同时改变符号，因此（3.2）式仍成立.

（2）如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分， 然后应用公式（3.2）并相加.因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式（3.2）也成立.

（3）为了便于记忆， 把Stokes公式写成

另一种形式

其中 .

（4）Stokes公式的实质： 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.

（5）当Σ是xoy 面的平面闭区域时，Stokes公式就变成Green公式. 因此， 格林公式是Stokes公式的一个特殊情形.

4 Stokes的四维空间推广

根据以上三维空间内的Stokes公式的推广，在此将其推广到四维空间中，首先假设：

设K是R4 中由光滑或分片光滑的封闭曲面 所围成的三维单连通封闭区域，K1（x，y，z，t） ，K2（x，y，z，t） ，K3（x，y，z，t） 与K4（x，y，z，t） 在K上具有连续偏导数，则：

（4.1）

其中 表示有向封闭曲面 的外侧。

结语

综上所述，在一维的直线上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空间的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的积分公式，Stokes公式的一维形式上就是微积分基本公式，二维情形上则是Green公式，三维空间上是Gauss公式，此推论在四维空间上同样适用。

限于本人水平有限，文中还有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能够加入深入。

参考文献：

[1]褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式纵横谈[J]. 科教文汇旬刊， 2007（11）：184-185.

[2]宋来忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整体性质[J]. 湖北科技学院学报， 1987（s1）：23-28.

[3]刘红玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高维空间中的推广[J]. 广东技术师范学院学报， 2015， 36（2）：6-8.