导数的应用

摘要：极限贯穿于整个高等数学的始终，其计算对于学生后续学习非常重要，洛必达法则属于极限计算的重要方法，文章通过举例说明洛必达法则解决的常见的几种极限形式，并根据在教学过程的心得提出了对于高职学生在运用洛必达法则的过程中的注意事项。

关键词：洛必达法则；极限；高职教学

极限是学生从高中数学到高等数学过度的第一课，也是学生学习高等数学遇到的第一道坎，然而极限方法是研究变量的一种基础方法，也是后续导数及微积分学习的重要基础，然而，在高职教学过程中，由于学生的基础以及后续专业课对基础课的需求，我们在高等数学的教学中弱化了学生对理论的推导与掌握，我们的重点更偏向于计算部分，因此，在极限的学习当中，极限计算的方法在高职学生接触高等数学的第一课显得尤为重要。

在极限的计算形式当中，主要有既定式和未定式两种形式的计算，对于既定式的求解，由于其采用的方法比较简单（直接代入法），所以高职学生易于掌握，但对未定式极限的计算，由于其类型复杂，不同类型的处理方法有所不同，所以求解技巧性强，对于高职学生来说掌握有一定难度，但当运用洛必达法则解决未定式极限时，其技巧性稍弱，学生掌握起来更容易。

所以，本文对运用洛必达法则求解各种未定式极限进行相应举例说明，并总结了在高职教学中运用洛必达法则过程中需要注意和经常出现的问题，为高职学生学习洛必达法则提供了一定的帮助。

一、 洛必达法则

若函数f（x）和g（x）满足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞

（2）若函数f（x）和g（x）在点x0处的某个去心领域内均可导，且g（x）′≠0

（3）limx→x0f（x）′g（x）′=A（或∞）

则有limx→x0f（x）g（x）=f（x）′g（x）′=A（或∞）

二、 洛必达法则解未定式极限方法举例

（一） 直接运用洛必达法则00型与∞∞型

此类函数求极限只需运用洛必达法则直接对此分式函数的分子分母求导，直到分子分母只要有一个不为0或∞

此类型函数举例如下：

1. 00型

例1limx→0ex-e-xsinx=00limx→0ex+e-xcosx=2

2. ∞∞型

例2limx→+∞x2ex=∞∞limx+∞2xex=limx→+∞2ex=0

（二） 需要變形计算（∞-∞型、0型、00型、1型、∞0型等）

1. ∞-∞型

对于此类函数的极限，我们需要将其变为00型或∞∞型，处理手段有以下两种：

（1）通分

例3limx→32x2-9-1x-3=

∞-∞limx→32-x+3x2-9=limx→3-12x=-16

（2）有理化：①分子有理化；②分母有理化

由于有理化主要针对含有根号的式子，而根号的出现会使得求导过程变得复杂，鉴于数学计算的目的是计算变得简单、可行，所有对于含有根号的

00型或∞∞型，我们一般不采取洛必达法则求解，而采取其他求极限的方法进行求解。

2. 0·∞型

处理方法：针对此类函数极限应用洛必达法则求解时，我们通常需要选择其中一个因式到分母，将两个式子相乘变为两个式子相除，从而将0·∞型变为00型或∞∞型，由于洛必达法则涉及求导问题，所以在选择谁去作为分母时，我们通常遵循的原则是：选择更易于求导的式子去作为分式函数的分母，这样才不会使得我们的求解过程变得复杂或不易求出。

此类型函数举例如下：

例4limx→0-x2·e1x2

=0·∞limx→0-e1x21x2=limx→0-e1x2·（-2）x-3（-2）x-3=∞

3. 00型、1型、∞0型等

处理方法：对于既是指数函数，又是幂函数型的式子求极限，为了不使整个计算式子太复杂，我们可以先求以此函数式为真数的对数函数的极限，然后通过利用对数的运算法则，可以将此类型函数的极限转化为两个式子相乘，再利用0.型极限的计算方法，求出此对数函数的极限，最后，利用对数与指数函数互为反函数的性质，再反求以此次极限结果为指数的结果，即为所求的函数的极限。

此类型函数举例如下：

例5limx→0+（sinx）x

解：此型式为00型

limx→0+ln（sinx）x=limx→0+xln（sinx）

=limx→0+ln（sinx）1x=limx→0+cosxsinx-1x2

=limx→0+-x2cosxsinx=limx→0+-x2cosxx=0

limx→0+（sinx）x=e0=1

例6limx→1x11-x

解：此型式为1∞型

limx→1lnx11-x=limx→111-xlnx=limx→1lnx1-x=limx→11x-1=-1

limx→1x11-x=e-1=1e

例7limx→1cotx1lnx

解：此型式为∞∞型

limx→1lncotx1lnx=limx→11lnxlncotx=limx→1lncotxlnx

=limx→1-csc2xcotx1x=limx→1-xsinxsin2xcosx=-1limx→1cotx1lnx=e-1=1e

三、 洛必达法则教学心得

（一） 洛必达法则求极限，其技巧性不如直接求极限方法强，学生掌握起来比较容易，但是其适用于易于求导数的表达式，当表达式不易于求导数（比如含有根号的式子）时，尽管可以运用洛必达法则，但会使得运算过程比较复杂，所以建议考虑运用其他方法。

（二） 运用洛必达法则的终止：当分子分母同时是无穷大或0时，可以无限次使用洛必达法则，但当使用之后分子分母只要有一个不为0或无穷大时，则需要停止使用洛必达法则。

（三） 洛必达法则与其他求极限方法的混用：在使用洛必达法则时，等价无穷小的替换可以与其一起使用，这样会使得求导数的运算变得简单，但是，无穷小的替换一定要在运用洛必达法则之前完成，千万不能分子分母一个在进行等价无穷小的替换，一个在运用洛必达法则，即洛必达法则的使用一定要分子分母同步。

（四） 洛必达法则不是万能，有些式子的虽然符合洛必达法则的使用条件，但是运用洛必达法则无法计算出结果或极限不存在，这时并不表明此式子的极限不存在，以下例子将说明这个问题，此时我们需要考虑运用其他方法。

例8limx→∞x+sinx1+x

解：根据其类型观察，此类函数属于∞∞型，根据洛必达法则的使用条件，我们可以运用洛必达法则，运用洛必达法则结果如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞1+cosx1=limx→∞1+cosx

根据函数极限的定义，由于limx→∞cosx的极限不存在，所以limx→∞

1+cosx的极限不存在

而此函数通过其他方法计算函数极限如下：

limx→∞x+sinx1+x=limx→∞（x1+x+sinx1+x）=limx→∞x1+x+

limx→∞sinx1+x=limx→∞11+1x+limx→∞sinx1+x

因为limx→∞11+1x=1

limx→∞11+x=0

所以limx→∞x+sinx1+x=1

参考文献：

[1]周承贵，熊启才，龙伟忠.应用高等数学（理工类）[M].重庆：重庆大学出版社，2015.

作者简介：罗光俊，贵州省贵阳市，贵州建设职业技术学院。