浅谈中学数学的对称美

摘要：数学自身是理性思维和想象力的结合体，数学美是集科学与艺术美为一体，主要包括对称美、简洁美、统一美，在数学史中，数学美是数学发展的重要因素，在学习的过程中，要善于发现数学之美，学会在欣赏美中获得知识。其中对称美是数学美中最显著的表现形式，在中学数学中这一性质是非常常见的。欣赏对称美，体会数学之美。

关键词：中学数学；代数；几何；对称美

古希腊学者毕达哥拉斯说：“美就是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美”。同毕达哥拉斯一样，许多中外知名学者都认为数学是美的，数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心，其中表现最突出的是对称美。对称与美是紧密联系的，对称的事物给人一种视觉上的美感，精神上的享受，对称性这一性质被广泛地应用在生活中，比如某些著名的建筑，北京的紫禁城、印度的泰姬陵、巴黎的埃菲尔铁塔等等，另外在自然界中，比如蝴蝶、枫叶、雪花、风车等也具有此性质，对称性本身就是一种和谐、一种美，同时对称性在数学教材中也是普遍存在的。

一、 数学定理及公式的对称美

在中学数学中，有许多定理公式都具有对称性，这一特点有利于学生的理解记忆。公式的对称性主要是指公式中不同的运算符号可以改变，运算顺序也可改变，例如平方和（差）公式（a±b）2=a2±2ab+b2，立方和（差）公式（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3，其中a，b的位置可以互换，公式仍然成立。类似的公式还有很多，三角函数中的和、差、倍、半公式，两角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ还有两角和差的余弦公式cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ等，这些公式的展开式都具有对称性，使人读起来有种节奏感，印象深刻。数学中的许多定理的对称性也体现出数学的对称美。比如初中教材中出现的平行四边形的性质：“平行四边形的对角线互相平分，”与平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形。”这就是数学中定理的对称关系，平行线的性质与平行线的判定定理也是具有对称性的。从运算符号看，“+”与“-”“×”与“÷”也具有“对称”关系。从数的角度看，奇数与偶数，整数与小数，约数与倍数，质数与合数也是具有对称关系。这些关于数学的对称性的认识让我们对数学的学习又加深了一步，让我们在学习数学的同时又体会着数学的美，进一步提高学生学习数学的兴趣。

二、 代数中的对称美

中学数学中的代数包括函数、不等式、数列、概率、解析几何等部分。每个部分中都能体现出不同的数学对称美。

1. 不等式的对称美

在不等式中，我们可以任意的交换两个字母，此不等式不会改变，这就是不等式的对称性，例如不等式x+y+z≤3，xy+yz+xz≥1，a2+b2+c2≥ab+ac+bc等。

2. 函数的对称美

函数是贯穿于整个中学数学的学习，也是整个中学数学学习的重心，而函数的对称性是函数中最重要的性质之一，函数的对称性主要体现在函数图像具有对称性，其中包括点对称和线对称。接下来以二次函数和三角函数为例来研究函数的对称性，体验对称之美。

（1）二次函数中关于点的对称美

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的两个零点A（x1，0）和B（x2，0），也就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解x1、x2，A点和B点在二次函数的图像上是关于对称轴x=-b2a对称的两个点，都在x轴上，由于二次函数的图像整体都是关于x=-b2a对称的，因此二次函数上有很多互相对称的点，其对称点式通用（x1，k），（x2，k），k是相当于把二次函数与x轴的交点上下平移k个单位。这种对称主要是体现其图形的对称美，对称性也给我们求解问题带来了方便。

（2）三角函数的对称美

三角函数一般包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数与余割函数，其中正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx是三角函数中的常用函数，它们的函数图像既是中心对称图形，又是轴对称图形。

正弦函数与余弦函数还是周期函数，它们的对称轴和对称中心有无数个，其对称性使图像看起来很美观，做题时也容易让我们根据其对称性解决问题。

三、 几何中的对称美

几何中的对称性是最直观、最易懂的性质，也是我们解题时最常用到的性质。几何中的对称一般包括点对称、中心对称、轴对称，在平面几何中等腰三角形、正方形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中圆是具有性质最多的图形。立体几何中正方体、正四面体、球、长方体也是对称图形，球是最美的图形，这些对称图形看起来有一种和谐美，让人视觉得到享受。而这一性质被广泛应用在我们的日常生活中，形成了许多美丽的图形，神奇的建筑，丰富了我们的生活情趣，当我们走在街道两边，看到周围的建筑，路旁的花花草草，川流不息的车辆无不显示出人们创造出的对称美。汽车的品牌、北京天坛的建筑和外国建筑都具有对称性这一特点。

对称美是数学美中最显著的特征之一，而对称美在中学数学教材中到处都存在，让人们在学习数学中发现美，提高自身的数学素养，所以在教学过程中要注重把这种数学美呈现在学生面前，让学生体会到这种美，从而可以提高学生学习数学的兴趣。这些数学的性质给学生的学习带来不少乐趣，让其在课本上学习对称美，在生活中体会数学美，了解数学和生活是密切相关的。正如英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，是一种冷而严肃的美。”

参考文献：

[1]郭才会.数学的对称美与和谐美[J].学园，2014.

[2]彭丽樟.对称美与中学数学教学[J].华中师范大学，2008.

[3]姚晓娟.二次函数的对称美[J].考试周刊，2014.

[4]易南轩.数学美拾趣[M].北京：科学出版社，2004.

作者简介：宋丹丹，四川省南充市，西華师范大学数学与信息学院。