关于Fermat型函数方程的亚纯解

2018-07-05 08:22段江梅
大理大学学报 2018年6期
关键词:型函数亚纯重数

段江梅

(昭通学院数学与统计学院,云南昭通 657000)

1 引言及主要结果

1637年法国数学家费马提出了如下猜想:当n≥3时,丢番图方程xn+yn=zn没有非平凡的整数解。1994年这个猜想被英国数学家A.Wiles完全证明。要寻找方程xn+yn=zn在整数环上的非平凡解,可以转化为求代数曲线xn+yn=1上的有理点。

然而早在1965年,当n≥2时,关于Fermat型函数方程

在整函数环,或是亚纯函数域上的非平凡解的状况已经完全清楚了。

类似地,研究丢番图方程xn+yn+zn=tn整数解的存在性问题可以转化为研究方程xn+yn+zn=1的有理数解的存在性问题。然而,当n≥6时,方程xn+yn+zn=tn整数解的状况不是十分清楚。

相应地,不妨先考虑当n≥2时,Fermat型函数方程

在整函数环,或是亚纯函数域上的非平凡解。对于该问题的研究已有如下结论:

1985年 W.K.Hayman〔1〕证明了:当n≥9时,方程(1)不存在非常数亚纯解;当n≥7时,方程(1)不存在非常数整函数解。

此外,当 2≤n≤5时,G.G.Gundersen等〔2-4〕找到了满足方程(1)的非常数整函数解;当n=6时,G.G.Gundersen〔5〕构造了满足方程(1)的非常数亚纯解。

近期,苏敏等〔6〕证明了:当n=6时,方程(1)不存在级小于1的非常数整函数解;当n=8时,方程(1)不存在级小于1的非常数亚纯函数解。

本文对n=7时函数方程(1)亚纯解的存在性问题进行了探究,得到以下结论:

定理1 设f(z),g(z)及h(z)均为非常数亚纯函数,它们满足:

(i)f7(z)+g7(z)+h7(z)=1;

(ii)f(z),g(z),h(z)无公共单重极点,则τ(z)是整函数,其中

定理2 函数方程

无满足如下条件的非常数亚纯解:

(i)f(z),g(z),h(z)至多有一个公共单重极点;

2 几个引理

在定理的证明之前,先介绍本文中常用的几个引理。

引理1 若(j=1,2,…,k)为区域D内k个亚纯函数,且的Wronskian行列式〔7〕线性无关,那么φ1,…,φk

引理2 若f(z)是C上的亚纯函数,那么对∀k∈N,f(k)(z)与f(z)的级相同〔8〕。

引理3 若是非常数亚纯函数,且,那么〔9〕

特别地,若非常数亚纯函数g(z)的级ρg<1,则有

3 定理的证明

3.1 定理1的证明 由于f(z),g(z),h(z)为方程f7(z)+g7(z)+h7(z)=1的非常数亚纯解,则f7(z),g7(z),h7(z)一定线性无关,从而W(f7(z),g7(z),h7(z))≢0。

由(2)可得方程组

从而τ(z)≢0。

由克莱姆法则得

于是

同理可得:

我们断言:当f(z),g(z)及h(z)无公共单重极点时,τ(z)为整函数。

事实上,若τ(z)有极点,只可能在f(z)或g(z)或h(z)的极点处产生。用p,q,t分别表示f(z),g(z),h(z)以z0为极点的重数。由方程(2)知,若z0是f(z),g(z),h(z)中任意一者的极点且重数为max{p,q,t},那么z0至少也为其余两个(亚纯函数)中一者的极点,且重数也为max{p,q,t},由f(z),g(z),h(z)的对称性,不妨设 max{p,q,t}=p=q,则p=q≥t。在z0的某去心邻域内,设

其中为解析部分。

下面分3种情况讨论:

1)若p=q=t≥2,则

注意到p≥2,所以τ(z)在z0处解析。

2)若p=q>t≥1(当t=1时,p≥2),则

注意到p>t≥1(当t=1时,p≥2),因此τ(z)在z0处解析。

3)若p=q>t=0 ,显然τ(z)在z0处解析。

因此,断言成立。

3.2 定理2的证明 假设方程(2)存在满足条件的亚纯解f(z),g(z),h(z),

则由定理1的证明过程知:

下面分两种情形证明:

情形1 当f(z),g(z)及h(z)没有公共单重极点时,由定理1知:τ为整函数。

又由引理2和方程(2)知

故由引理3得

又因为τ是整函数,故τ=0,与(3)式矛盾。

情形2 当f(z),g(z)及h(z)的公共单级极点有且仅有一个,设为z0,在z0的某去心邻域内,设

令F(z)=f((z-z0)2+z0),G(z)=g((z-z0)2+z0),H(z)=h((z-z0)2+z0),则z0为F(z),G(z),H(z)的公共二重极点,且F7(z)+G7(z)+H7(z)=1。

则τ~≡ 0,且τ~在z0处解析。

又由于ρF=2ρf<1,故由引理3知,τ~=0 ,矛盾。

综上,结论得证。

〔1〕HAYMAN W K. Warings Problem für analytische Funktionen〔J〕. Bayerische Akademie der Wissenschaften Ma-thematisch-Naturwissenschaftliche Klasse,1985,1984:1-13.

〔2〕MOLLUZZO J.Monotonicity of Quadrature Formulas and Polynomial Representation〔J〕.Doctoral Thesis,1972.

〔3〕GREEN M.Some Picard Theorems for Holomorphic Maps to Algebraic Varieties〔J〕.American Journal of Mathematics,1975,97(1):43-75.

〔4〕GUNDERSEN G G,KAUYA T.Entire and Meromorphic Solutions off5(z)+g5(z)+h5(z)=1〔J〕.In Symposium on Complex Differential and Functional Equations,2004(1):57-67.

〔5〕GUNDERSEN G G.Meromorphic Solutions off6(z)+g6(z)+h6(z)=1〔J〕.Analysis,1998(18):285-290.

〔6〕苏敏,李玉华.关于函数方程非平凡亚纯解的研究〔J〕.云南师范大学学报(自然科学版),2009,29(2):41-44.

〔7〕顾永兴,庞学诚,方明亮.正规族理论及其应用〔M〕.北京:科学出版社,2007.

〔8〕杨乐.值分布理论及其新研究〔M〕.北京:科学出版社,1982.

〔9〕LI Y H.Uniqueness theorems for meromorphic functions of order less than one〔J〕.Northeast Math J,2000,16(4):411-416.

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