几何直观下的距离问题

耿京波　吴　勇

(北京师范大学附属实验中学　100032)

距离问题，特别是在平面直角坐标系下的距离问题研究一直是初中数学教学的重点，对于大多数学生来说理解和解决距离问题也是难点.究其原因主要有两点：

(1)多数初中生对于数形结合的数学思想还体会不足，距离概念由形引入，但在平面直角坐标系应用距离问题往往容易将数与形剥离开；

(2)学生较难在图形的运动变化中抽象出距离的直观表示，由于距离的代数计算方法较为复杂，因此学生很难一味地使用代数的方法进行解决.

为了能够让学生更加直观地理解距离问题，我们类比“等高线”的概念，借助“等距线”来将距离问题直观化、普适化.

1　等距线

“等高线”是指地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线.同样地，我们可以类比在平面直角坐标系中画出到定点(为了简化表示，我们不妨以原点为定点)距离等于单位长度的所有点的集合，不妨称作单位等距线.

例如，在欧氏距离的定义下，到定点距离等于单位长度的点的轨迹为以定点为圆心，1为半径的圆.而距离越大，圆的半径也就越大.为了直观地想象到定点的距离不断变化的情况，我们可以想象平静水面上一滴水溅起的涟漪即为一组同心圆，而随着这组同心圆半径的增加，到水滴坠入点的距离也就逐渐增大.如果我们求到定点的欧氏距离最小的点时，只需要考虑将该定点落入平面水面中，溅起的涟漪最先触碰到的点就是到该定点的欧氏距离最小的点.再如我们置身于平静湖中的船上，如何找到河岸上距离船的最近的位置，在理想的情况下，可以竖直向湖中投入一块石子，只需要找到涟漪最先接触到曲折河岸的位置即为距离船最近的位置.

我们可以重新审视在欧氏距离下的“垂线段最短”这一定理，我们可以想象将直线外一点滴入“平静水面”，这样就可以产生一系列同心圆形状的“涟漪”，当这组同心圆最先与直线有交点即圆与线段相切时，此时切点到圆外该点的距离最小，而此时过切点的半径垂直于直线，即通过直观的方法来解释了“垂线段最短”这一定理.

从“等距线”的角度来重新看距离问题对于初中学生来说能够很好地解决学生面对平面直角坐标系下的距离问题的困难：

(1)这种解释方法将距离直观化、形象化，把距离这个抽象的概念用具体存在的图形表示出来，往往把复杂的距离问题变得简明，形象，一目了然，有助于探索问题解决的思路，预测结果；

(2)这种解释方法具有运动变化的特性，可以直观地解决处理有关距离的最值问题和临界位置问题；

(3)最重要的是，这种解释方法可以与学生的实际生活与感受相贴合，学生易于接受，能够帮助学生直观地理解距离问题.

2　等距线的直接应用

下面我们将通过两道例题来体现“等距线”在处理距离问题时的优越性.

题目1：(2012年北京市中考第25题)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；

若|x1-x2|<|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.

例如：点P1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).

图1

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

①如图2，点D的坐标是(0,1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.

图2

图3

常规解法：通过定义的描述，归纳出两点的“非常距离”为横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值.

然而在教学中我们很遗憾地发现很多学生很难从本题(1)提供的特殊情况归纳推理出一般情况的特点(横纵坐标差的绝对值相等，或者连点连线的斜率为1或-1)，即使找到上述特点，在当要解决两动点的情况时也束手无策，上述情况的出现主要有以下几个原因：1.(1)中的一般情况提供的特点并没有那么明显；2.很多学生及时猜想到了上述特点，但因无法解释，在(2)中仍不敢使用；3.对于绝大多数学生来说在处理(2)②时很难从“非常距离”最小的情况得到直线与圆相切的情况.

对比常规思路，我们从“等距线”的角度来重新解决上述问题的第(2)小问.

题目2：(2017年北京中考第29题)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得点P，Q两点间的距离小于或等于1，则称点P为图形M的关联点.

(1)当⊙O的半径为2时，

②点P在直线y=-x上，若点P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；

(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

我们仍然可以从“等距线”的角度考虑题目2.

(2)只需要将(1)中的圆从固定的变为运动的，而关联点所在的区域与(1)相同，只是圆心随着动圆圆心而变化，解答略.

3　等距线的类比应用

实际上，借助等距线的概念不仅能直观地理解距离问题，也能直观地将一些看似非传统意义上的距离问题转化为距离问题，从而促进问题的解决.

题目3：(2017年西城初三期末第29题)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：

对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上任意两点，当∠MPN最大，称这个角为点P关于⊙C的“视角”． 直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”.

(1)如图，⊙O的半径为1，

①已知点A(1,1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；

已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；

②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；

(2)⊙C的半径为1，

利用该结论，我们就能直观地看出直线关于单位圆的“视角”，即只要逐渐增加圆的半径，但圆与直线相切时，对应的圆所对应的“视角”就是该直线关于单位圆的视角.这样本题就可以通过以上的分析来解决.

4　总结

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”借助“等距线”来解释、理解距离问题只是几何直观的一个具体体现.因此，在日常的数学教学中，我们要善于借助一些生活中的现象，借助一些直观的图形变化来解释抽象、复杂的数学问题，可以让学生对数学问题的解决有着更加深刻、直观的理解.