基于数学核心素养的“复数”教学设计

吕天玺　王光明

(天津师范大学教师教育学院　300387)

1　引言

2018年1月16日，《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)正式颁布，其中提出了六个反映数学本质的核心素养，优化了课程结构，更新了教学内容．

基于数学核心素养的教学，首先要改变教学设计的思路，要在整体观下进行主题单元式的教学，引导学生宏观认识数学内容与方法；其次要重视情境创设与问题设计，促进学生对数学本质的理解[1]．

“复数”的教学内容由选修课程调整为必修课程，《课标》要求教师从方程的解这一角度帮助学生认识复数，更加突出了数学内部的矛盾对数系扩充的推动作用；新增加的“复数的三角表示”等选学内容，不仅加深了学生对复数几何意义的认识，而且沟通了“几何与代数”、“函数”等不同主题学习间的联系，对学生深刻认识复数，培养其逻辑推理、直观想象和数学运算等数学核心素养起到促进作用．

复数是中学课程里数的概念的最后一次扩充，学生在生活中很少接触复数，所以对其很陌生且较难理解．近几年高考对复数的考查基本围绕复数代数形式的四则运算，使得教师和学生对复数这部分内容不够重视，仅仅会使用公式进行简单计算，特别是对数系的扩充与复数的几何意义认识较为模糊．

2　以“几何意义”为线索的复数教学设计

数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学产生、发展的客观需求[2]．因此复数教学的落脚点不能仅定位于让学生运用公式进行简单的计算，而应从数系的扩充过程中深刻认识复数[3]，为学生制定突出数学核心素养的教学目标：(1)经历体会数的发展过程，理解引入复数的必要性；(2)借助类比法，理解i的含义，了解从实数到复数的扩充；(3)从几何意义的角度，理解复数分类、复数相等的含义，掌握复数的四则运算．

依据张景中院士关于“虚数不虚”的阐述[4]，提出新的教学设计思路，如图1所示．以几何意义为线索贯穿始终，从数学史出发，运用类比法生成复数的概念，同时完成数系的扩充，并对其进行分类，讨论复数相等的充要条件，最后再回归到复数的几何意义，引出复数的四则运算．

图1

2.1　回溯历史，引发认知冲突

关于数的概念，人们最早是从认识自然数开始的．每一次数系的扩充除了有实际生活的需要[5]，更重要的是数学内部矛盾的促进：方程x+1=0在自然数集无解，导致数系扩充至整数集；方程2x-1=0在整数集无解，导致数系扩充至有理数集；方程x2-2=0在有理数集无解，导致数系扩充至实数集[6]．

16世纪之前，人们认为：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ<0时，方程无解．方程为什么无解？如何使方程有解呢？

问题1：求使和为10，积为40的两个数[7]．(意大利数学家卡尔丹，《大术》)

显然方程存在解x=4，这是为什么？

问题3：已知x、y满足x2+y2=2，xy=2，求x+y、x、y[9]．(德国数学家莱布尼茨)

通过上述三个问题，让学生重走数学家之路，思考问题总结发现：确实存在一种数，它们的和或者积为实数．从而提出一种猜测：Δ<0时，一元二次方程存在根，但不是实数．

2.2　类比实数，研习数系扩充

如图2所示，数轴上的任意一点B都唯一对应实数b(设b>0)，将实数b乘-1得到实数-b，那么-b在数轴上就对应点B关于原点O的对称点B′，也可以看作是将点B绕原点O旋转180°所得．将实数-b乘-1又得到实数b，也可以看作是将点B′绕原点O旋转180°所得．两次旋转从代数的角度看，就是(-1)×(-1)=1．

图2　实数的几何意义

如果将b×(-1)所对应的点看作是将点B绕原点旋转180°所得，那么b×(-1)=b×i×i所对应的点就可以看作将点B绕原点连续作两次顺时针(或逆时针)旋转90°所得，如图3所示．

图3　i的几何意义

问题5：将一个实数乘-1后，其对应的点仍然落在数轴上，那乘i后对应的点落在何处？如果将数轴上每个点对应的实数都乘i会发生什么？

通过问题5引导学生循序渐进的发现“新数”已经无法在一维的数轴上表示．如图4所示，不妨取实数乘i后沿逆时针旋转，那么旋转后对应的点落在过原点垂直于数轴的直线上，最终产生一条过原点且垂直于原数轴、正方向向上的新数轴．

图4　新数轴的产生

也就是说，仅仅依靠一条实数轴是不能理解i的含义的，因此引入一条新数轴．原数轴称为实轴，新数轴称为虚轴．任意一个实数b所对应的点B都在实轴上，bi所对应的点都在虚轴上．

问题6：在实轴上任取一点P，将其向右平移1个单位长度，只需将点P所对应的实数加1即可．请类比实轴上点的移动，说明bi所对应的点向上平移1个单位长度得到哪个点？向右平移1个单位长度呢？

如图5所示，取实数b，向右平移1个单位长度，得到b+1，再乘i，得到(b+1)i．学生发现上下平移与i有关，而左右平移与i无关．因此，bi所对应的点向右平移1个单位长度得到bi+1=1+bi所对应的点．

图5　轴上点的平移

这样，不但实轴与虚轴上的点可以表示，而且实轴与虚轴所在平面上的每一个点都可以用a+bi(a、b∈R)这样的数表示，这个平面称为复平面．

像这样，形如a+bi(a、b∈R)的数称为复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R)．其中a与b分别称为复数的实部与虚部，i称为虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集C={a+bi|a、b∈R}．

通过类比实数的几何意义，解决了负数开方问题，而且引入的虚数i和实数之间仍然满足实数集的运算法则：加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律．这样就自然、合理地将数系扩充至复数系，并且讨论了复数的几何意义：复数z=a+bi(a、b∈R)唯一对应复平面上的点Z(a，b)．

2.3　数形结合，应用几何意义

问题7：请结合上述所学知识，谈一谈为什么从实数集到复数集是数系的扩充？

一方面，复数集的运算满足实数集的运算法则，数系的扩充具有合理性；另一方面，通过复数几何意义的讨论，可以发现实轴上的点都唯一对应着实数，因此是数系的扩充．也就是说，对于复数z=a+bi(a、b∈R)，当b=0时，a+bi就是实数，因此复数集中包含实数．其他情况如下表所示．

表　复数的分类

当a=0且b=0时，z=0也属于实数，因此复数的分类可以用图6表示．

图6　复数的分类

问题8 ：请根据复数的几何意义，阐述两个复数相等的充要条件是什么？

根据复数的几何意义(复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面内的点Z(a，b)一一对应)得知，两个复数相等就是所对应的点重合，则有实部对应相等，虚部对应相等．即复数z1=a+bi(a、b∈R)与z2=c+di(c、d∈R)相等的充要条件是a=c且b=d．教师在教学过程中，要强调复数之间不能比较大小，只能说相等或不等．因为对于任意两个实数对应的点在数轴上都具有“序”的概念，所以实数可以比较大小；而任意两个复数所对应的点在复平面内不具有“序”的概念，因此复数不能比较大小．

图7　复数的几何意义

问题9：向量是指既有大小又有方向的量．对于复数z=a+bi，其模长决定大小，那什么决定方向呢[11]？

可以用向量与坐标轴所夹的角度确定方向．类比直线的倾斜角，定义向量方向与实轴正方向所夹的角为该复数的幅角，若向量终点位于实轴或实轴上方，则幅角为正；若向量终点位于实轴下方，则幅角为负．

图8　复数的三角表示形式

如图8所示，设复数的模长为r、幅角为θ，易知a=r·cosθ，b=r·sinθ，则复数的三角表示形式为z=r(cosθ+i·sinθ)．

2.4　融合提升，算尽加减乘除

复数的运算仍然满足实数系的运算法则，依此类比实数运算得到复数的四则运算．设复数z1=a+bi(a、b∈R)与z2=c+di(c、d∈R)，则有

z1±z2=(a±c)+(b±d)i，

z1×z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，

复数的几何意义是一一对应平面向量和复平面内的点，那么复数的加减法运算就可以用向量的加减法来表示，也可以用对应点表示．此处给出复数加法的几何意义．

图9　复数的加法

图10　cz1的几何意义

图11　z1i的几何意义

图12　复数乘法的几何意义

对于复数的除法，类比根式除法的分母“有理化”，只需利用共轭复数将分母“实数化”，转化为乘法运算即可，此处不讨论其几何意义．

3　教学目标制定与教学设计实施要突出数学核心素养

数学核心素养具有连续性、阶段性和整合性等特点，基于数学核心素养的教学设计要突出其特点，强化单元教学目标为培养学生数学核心素养所做出的独特贡献，以教学目标为指向，结合教学任务设计教学过程，促进学生数学核心素养连续性和阶段性发展，使学生会用现成的套路解决不现成的问题[13]．

以“复数”为载体的知识学习，可以培养学生逻辑推理、直观想象和数学运算的数学核心素养．

首先，通过回顾数的发展历程，让学生感受到复数是真实存在的，而不是人们凭空想象的，它是经过理性思考后所发现的一类新数，理解复数的引入十分必要，这样建立在达成教学目标(1)基础上的教学才能更好地培养学生数学核心素养．

其次，由于i的抽象性导致学生较难理解其含义，运用类比法从实数系扩充到复数系，将实数乘-1转化为实数乘i2，对应将一次旋转化为两次相同的旋转，其实这也是若干个小的推理的连续呈现．既巧妙地化解了难点，达成了教学目标(2)，又突出了逻辑推理[14]．通过此过程得到数学结论，使学生感受到数学的严谨性，形成重论据、有条理、合乎逻辑的理性精神，在数学活动中培养学生逻辑推理的数学核心素养[15]．

新思路下的教学设计突出表现的就是“几何意义”的重要性，数系的扩充(复数的概念)、复数的分类、复数相等及复数的四则运算都可以用复数的几何意义直观解释．这样“以形释数”的方法将抽象的数学可视化、具体化，培养学生学会用直观的图形说明抽象的数学知识，解决实际问题与数学问题，找到图形与图形、图形与数学之间的内在联系，把握数学的本质，提升直观想象的数学核心素养．

数学运算是学生学好数学的基础，体现着一个人的数学素养．复数的几何意义能帮助学生更好地认识复数的四则运算法则，提高数学运算能力．这种理解意义下的数学运算才能反映学生数学思维的深刻性[16]，帮助学生更好地达成教学目标(3)．如果想提高学生的运算能力，还需教师在教学中全方位、深层次、多角度的锻炼学生逻辑思维，提升数学运算素养．

从本质上讲，核心素养的培养与以人为本或以学生发展为本的理念是一致的．在教学中落实数学核心素养，既要在历史背景下传承，又要在时代精神中创新，两者的有机结合才能将其落实到位．