数学解题教学的基本考虑

文 佛山市南海区大沥镇盐步初级中学 简志洪

波利亚说：掌握数学意味着什么？就是“加强解题的训练”。教师最重要的任务之一是帮助学生，对学生应当设身处地弄清他们正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。解一道题，就像建一所房子，必须选择合适材料，但光有材料还不够，一堆石头毕竟还不是房子，要构造起房子，即构造出解，还要把收集到的各个部分组织在一起，使它们成为一个有意义的整体。那么,这种“把有关条款有目的地联系起来”的活动，就是“组织”。容易看出，解题过程主要就是由动员和组织这样两种活动组成的。而解题教学中，解题是最基本的活动方式，教师要教会学生解题方法，提升其解题能力。下面结合本人多年的教学实践，浅谈在解题教学中提高学生解题能力的一些做法。

一、辨认与回忆

学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得到典型结构和重要类型，这就是模式，将其有意识记忆下来，并做有目的的简单编码，当遇到新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，便能通过联想起已解决过的问题来解新的问题。

案例1.在 《多边形的内角和定理与外角和（1）》学习多边形内角和定理时，我是这样设计题组让学生自主探究的：

题组一：1.三角形和四边形的内角和分别为多少？四边形内角和是如何探求的？（转化为三角形）那么，五边形内角和你会探索求吗？六边形、七边形……n边形内角和又是多少呢？2.从四边形内角和的探求方法，能给你什么启发呢？（转化为三角形内角和）五边形内角和能否转化为三角形求解？数目是多少？六边形……n边形呢？

题组二：1.你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、分割的三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？猜一猜n边形内角和有何结论？2.n边形内角和=n×180°-360°， 你能设计一个几何图形来解释吗？对于n边形内角和=（n-1）180°-180°,又能作怎样的几何解释呢？

以上在解题教学时，首先我指导学生辨认当前问题中所熟悉的特征或元素，其次指导学生回忆与这些特征或元素有关的定义、定理、概念和其他知识，回忆曾经解过的有相同或类似特征的问题、解决它的方法和所涉及的知识。在这里，我不断提问学生：你以前见过吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否见过与此有关的问题呢？你有没有具有相同未知量的问题，尤其是过去解过的题呢？这里有一个与当前问题有关且已解决的问题，你能利用它的结果或方法吗？

二、充实与重置

在教学中，我常常通过典型题目及其变式将解题思维过程精心设计成一个符合学生认知特征特点的、带有枝杈的思维过程，以利于学生认知的发展和知识的生成。当回忆出来的知识材料与问题之间找不到直接的联系，就需要在它们之间牵线搭桥，引入辅助内容，以使问题更为完整明朗。这种解题思维活动就是“充实”。

案例2.在 《角平分线》学习中，我是这样对典型题目分析和拓展的：

例：如图，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）已知 CD=4 cm，求 AC的长；（2）求证：AB=AC+CD．

之后我设计了两道变式与拓展题：变式1：增设第3问：已知AC=4，求CD的长．变式 2：已知：如上图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∠BAC的平分线交BC于点 D，DE⊥AB，垂足为 E。若AB=18，求△BDE的周长。

三、分析与反思

解题心理规律告诉我们，解题者在解题决策过程中可能百思不得其解，多次受阻，此时的思维具有很大直觉性，可能顾及不到对自己思维过程的分析整理。所以，解题后要通过反省，对解题方法和解题反映出来的数学思想进行概括，教师可精心设计练习，引发学生对数学解题获得规律性的深化理解。

例如《平行四边形的判定》，学习完P144例2后引例后，我设计了一道这样的题目：

案例3.在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为AO、CO的中点，试说明：

（1） OE=OF；

（2）四边形DEBF是平行四边形。

图1

图2

（3）如果E、F点分别在AC的延长线上时（如图2），且满足AE=CF，上述结论仍然成立吗？

小结：上述练习环节中，我在新旧方法的联结点上巧妙设问，激发学生探索新方法的兴趣和情感，追溯解题决策时的念头及顿悟是怎样产生的？问题解决中用到哪些数学方法，体现哪些数学思想？能否将这些方法用于其他问题的解决中去？从而发展学生的思维能力。

四、迁移与延伸

在教学中，往往出现学生当时听懂了，但是课后解题，特别是遇到新题就无所适从，因此，我常常课本题后设计迁移性和延伸性习题，引导学生学会思考，积极探究数学问题，从问题中真正领悟解题方法。我认为，解题教学中，教师要主动创造条件培养学生的探索精神、求异思维和非常规想象等。

例如：在 《有理数》课后布置这样一道题目：案例5（七上改编）数学分类思想就是根据数学对象的本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想；分类的标准往往是根据不同的实际需要来确定。例如有理数的学习，我们把有理数分为：正有理数、负有理数、零。

（2）请你重新给定一个分类标准，并按照你所确定标准把问题（1）中有理数进行恰当的分类。

（3）你会“二十四点”游戏吗？请你在（1）的有理数中选取其中四个，运用“二十四点”游戏规则，列出一个算式，并验证其结果是否等于24。

因为在数学解题学习中，学生主要的任务并不是解题，而是学习解题，因此教师要关注学生的“学解”，“学解”最有效的方法是“在解题中学解题”，即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲身独立地进行数学解题活动。这就要求教师在进行解题设计时，稚化自己的思维，有意识到与学生相仿的思维态势，通过心理换位自我约束和监控，使教学设计中呈现的解题过程更具体、更完整，更贴近学生实际，这样，通过解题教学才更有利于学生个体知识的建构与生成，把学习的数学知识转化成学习数学的能力，从而提高解题能力，达到提高学习成绩的效果。