温度加载过程中花岗岩缺陷处局部应力和能量的变化规律

高红梅，兰永伟，赵延林，周 莉

(黑龙江科技大学 a.建筑工程学院，b.矿业工程学院，哈尔滨 150022)

核废料地质处置工程的污染物传播问题是高温热传导、地下水渗流、地应力等多个因素互相耦合作用的结果。其核心科学问题是由于核废料的残余放射性物质持续放热，导致核废料周围的花岗岩温度升高，在花岗岩内部缺陷处出现应力集中，引起缺陷发展、演化直至破坏；热破裂后的花岗岩渗透性迅速增大，核废料通过地下水渗流进行扩充流动，造成环境污染。

天然花岗岩本身细观结构是由黑云母与石英、长石等晶粒及缺陷组成的复杂混合体。花岗岩由于成岩过程、成岩环境的差异，或者开挖扰动、地震作用等因素都会产生缺陷。这些缺陷大大影响了花岗岩的力学性能，造成花岗岩力学性能的非连续性和均一性。含有缺陷的花岗岩在高温作用下，会造成花岗岩缺陷处应力集中，形成缺陷处能量积聚，从而加大了花岗岩缺陷扩展演化的敏感性。天然存在或者后期扰动形成的微缺陷演化成宏观的裂纹，是核废料处置工程中围岩失稳的主要原因。因此，研究温度作用下缺陷花岗岩内部热应力、缺陷处局部应力变化情况、以及缺陷花岗岩能量的变化规律，对于研究温度作用下缺陷花岗岩热破裂起到至关重要的作用。

目前，众多国内外学者对于均质岩石在温度、加压状态时的物理、力学特性做了广泛的研究。宋修海[1]把岩体的破裂演化看成是失稳瞬时平衡的转态，研究考虑温度和自由能的耦合对岩石动力学方程的非线性影响。王小琼[2]研究岩石在压力作用下微裂隙产生、扩展、贯通成核并引发最后岩石的整体破裂。曹文贵等[3]把微裂纹缺陷看作是岩石内部随机分布的,提出了岩石颗粒单元强度、应力状态对岩石损伤变形的影响。王明洋等[4]从理论上研究该局部应力的影响因素，推导了出岩石缺陷处的应力集中主要与缺陷的大小、应力集中系数等参数有关。陈琳等[5]研究了加载速率不同的情况下岩石弹性模量和峰值的变化规律。孟林等[6]应用数值模拟的方法，研究了温度、热导率对岩石破裂的影响。郭璇等[7]建立了内能、自由能等热力学能量函数来表征岩石热损伤本构模型。彭俊等[8]研究了岩石内部微裂纹的闭合压密效应及其定量评价方法。高平[9]研究了岩石的微观空隙对岩石和热导系数之间的关系。谢卫红等[10]通过实验测试得出加载历史与岩石损伤破坏是非线性的关系。尹土兵[11]通过先进的测试技术，得到了岩石的峰值动态随温度升高而降低的结论。张连英[12]利用电液伺服材料试验系统，测试不同温度压力加载时泥岩的峰值强度变化规律。刘慧[13]采用了CT扫描技术，研究温度作用下岩石细观晶体变化规律。仵彦卿等[14]利用CT技术研究了岩石应力和损伤的关系。李地元等[15]研究了单轴应力下缺陷岩石破裂演化规律。徐小丽等[16]通过声发射图像，得出了岩石强度和耗散能之间关系。谭志宏等[17]通过实验室单轴压缩测试实验，研究了花岗岩裂纹的扩展规律。林鹏等[18]研究了不同预制裂纹角度对玄武岩破坏强度的影响规律。王利等[19]建立了基于微缺陷累计成核数序列的裂纹尺度生长模型和损伤演化模型。韩同春等[20]通过编制程序，研究了缺陷数目对岩石声发射的影响规律。郑达等[21]通过电镜扫描实验，研究围压对岩石强度参数和变形参数的敏感性。张飞等[22]用编制的程序研究分形维数对岩石破裂的影响。谢卫红等[23-24]通过理论推导，研究了温度、应力对岩石损伤余能释放率的影响。肖晓春等[25]建立了岩石热应力、有效应力作用下损伤理论模型。张力民[26]研究了裂隙长度、裂隙倾角对岩石整体强度的宏观影响。卢志堂等[27]研究了高温作用对花岗岩的强度峰值影响规律。唐世斌等[28]通过数值模拟，研究了岩石随温度升高损伤破裂的规律。邱一平等[29]研究了热应力是花岗岩单元破裂形成裂纹扩展演化的主要原因。刘泉声等[30]研究温度对岩石热损伤能量释放率的影响规律。邓广哲等[31]通过北山花岗岩流变性实验，研究了温度损伤和时间效应对花岗岩损伤的影响效应。付文生等[32]通过实验研究了岩石强度受温度影响规律。许锡昌等[33]研究了温度效应对花岗岩弹性模量、强度的影响规律。特别应该指出的是太原理工大学赵阳升教授的研究团队[34-36]对完整花岗岩的热破裂开展了全面的实验室研究工作，研究发现完整花岗岩受热破裂存在温度门槛值，花岗岩热破裂过程中伴随着强烈的声发射和能量释放，并从微观角度研究花岗岩受热裂纹发展规律。

通过整理、分析前人研究成果可知，对于高温下完整的花岗岩从热破裂机理、裂纹扩展规律、热损伤能量释放的实验室研究成果较多。但由于高温研究设施的局限性，对于高温环境内部含缺陷的花岗岩岩样热破坏、损伤机理的研究较少。特别是关于不同温度加载速率的缺陷处局部应力、能量释放、裂纹损伤演化规律的科学研究相对匮乏。针对以上研究存在的不足，本文充分考虑内部缺陷对高温花岗岩破坏的影响效应，研究温度加载过程中含有缺陷花岗岩内部产生热应力、花岗岩缺陷处局部应力变化机理，得出花岗岩缺陷处局部应力与温度加载速率之间的函数关系。把花岗岩热加载速率和热自由能参数引入损伤方程中，推导出缺陷花岗岩能量释放率函数的表达式。通过理论分析和数值模拟，探究温度加载速率对缺陷花岗岩热应力、局部应力、能量释放规律的影响。

1 加温速率对花岗岩内部缺陷处的局部应力的影响规律

1.1 温度作用下花岗岩内部产生热应力

花岗岩是各种矿物结晶成分和含初始缺陷的天然材料。花岗岩中各种颗粒结晶的热膨胀系数不相同，在加温后花岗岩内部颗粒变形也不相同。为了保证花岗岩热变形的整体协调性，每种颗粒不能自由热膨胀，受到周边颗粒变形的约束，这种颗粒之间的相互约束作用即是热应力。

图1 温度效应下花岗岩裂纹初始状态Fig.1 Sketch map of model crack growth under the action of temperature

温度作用下花岗岩裂纹初始状态如图1所示。应用Terzaghi原理，有效应力σ可以表示为:

σ=σe-σT=Eε-σT(i=1,2,3) .

(1)

式中：σ为花岗岩颗粒骨架的有效应力；σe为缺陷处颗粒的弹性应力；σT为花岗岩温度作用下颗粒产生的应力；ε为缺陷花岗岩颗粒骨架在温度、应力效应下颗粒产生的形变；E为花岗岩的弹性模量。

温度变化过程中花岗岩内部热力学变量温度T(T0+ΔT,t)是随时间变化的函数，T0为花岗岩内部缺陷处零应力-应变状态时的温度，ΔT为任一时刻温度的变化量。结合Hooke，Biot定律，得到缺陷花岗岩内部的花岗岩本构关系为：

σ=Eε-α(T-T0)(3λ+2G) .

(2)

1.2 温度作用下花岗岩内部缺陷附近局部应力

温度作用引起花岗岩缺陷附近出现应力集中现象，花岗岩内部缺陷处局部应力可以表示为σloc，缺陷处弹性应力可以表示为σe.花岗岩因为缺陷引起的附加应力为Δσ，局部应力σloc可以表示为

σloc=σe+Δσ.

(3)

根据Maxwell应力模型，花岗岩缺陷处附加应力随时间变化为

(4)

式(4)可以变形为

(5)

1.3 加温速率对局部应力的影响

假设花岗岩只有温度作用，侧向、轴向不受任何应力。温度的函数表达式为

(6)

式中：Tmax为温度加载的目标温度；tmax为试件加载时间；t为任意时间参数。

花岗岩缺陷处应力为

(7)

将公式(7)变形可得

(8)

公式(8)变形为

(9)

其中，σp为花岗岩抗拉极限应力。

把公式(9)带入公式(5)可得

(10)

求解一阶常系数非奇次线性微分方程(10)可得缺陷处附加应力为

(11)

综上，花岗岩缺陷处局部应力为

(12)

由公式(12)可以看出在温度作用下花岗岩缺陷处的局部应力为拉应力，和花岗岩的温度加载速率、温度初始值、温度最终值等参数有关。在时间为t=ti时刻，缺陷处局部应力达到了花岗岩材料的拉应力强度，使得花岗岩裂纹处的颗粒单元破坏，缺陷微观裂缝开始演化发展，致使裂纹尺寸进一步扩展演化。

2 温度效应对损伤过程中缺陷花岗岩能量的影响

先假设不考虑热能损耗和变形能损耗，那么缺陷花岗岩裂纹扩展能可以用缺陷花岗岩缺陷前端部局部应力做功来表示，即为局部应力和缺陷端形成新的裂纹位移的乘积。缺陷裂纹及其局部应力集中如图2所示。

图2 初始裂纹状态图Fig.2 Initial crack state

图3 加温过程裂纹状态图Fig.3 Crack in the process of heating condition

为了求解方便，建立新的坐标系如图3所示。花岗岩内部裂纹长度为l，缺陷裂纹端正前方的拉伸应力的极限值可以表达为

(13)

式中：σloc(xi,yi)为缺陷处某一点的局部应力；KI为花岗岩应力强度因子；xi，yi为缺陷处某一点在新坐标下位置参数。

在温度应力作用下，两端缺陷裂纹端延长长度为l1和l2，裂纹的长度扩展为l+l1+l2的新裂纹，如图3.在距离原坐标系的x=xi处，缺陷裂纹扩展后的位移为yi(xi)，缺陷花岗岩位移场计算公式通过I型开裂表达为

(14)

式中：[KI]l+l1+l2为缺陷尺寸变化为l+l1+l2时，缺陷花岗岩的应力强度因子；υ为花岗岩的泊松比。

当花岗岩内部裂纹张开表面至图3时，缺陷处局部应力对裂纹上表面扩展位移所做的功W为

(15)

按照Griffith能量释放的观点，假设花岗岩裂缝厚度为A.缺陷一边的长度扩展到l1和l2，I型裂纹缺陷花岗岩的释放能量WI可以表示成

(16)

式中：WI1，WI2分别表示裂纹两个尖端分别扩展了l1,l2的释放能量。

那么，可求得缺陷花岗岩的释放能量为

(17)

3 数值模拟

计算模型宽度5 cm，高度10 cm，花岗岩岩样端面是光滑端面。其中，参数m=3反映了材料的均匀程度，花岗岩单轴抗压强度163 MPa，泊松比0.187，弹性模量为38 GPa，花岗岩导热系数为2.677 W/(m·K)，比热容为0.789 kJ/(kg·K).设η=2×10-7m/s，k=2，极限抗拉强度σp=16 MPa，裂纹缺陷长度分别为l(8 mm)的试样。裂纹的倾角固定在45°的花岗岩模型，进行温度作用下花岗岩局部应力损伤模拟。

在温度作用下，花岗岩试样的热损伤演化的数值模拟如图4，图5，图中黑点代表花岗岩结构内部损伤单元。由图4-图7可以看出，在温度升高到60 ℃时，花岗岩热损伤首先出现在缺陷裂纹处。温度继续升高，花岗岩裂纹周边开始出现不间断损伤点，在缺陷处仍然会出现局部应力。随着温度继续升高，花岗岩裂纹周边的不间断损伤点继续增加。温度继续升高，花岗岩缺陷处剪切破坏特征明显，花岗岩裂纹处的热损伤继续增大，花岗岩内部不间断损伤点继续增加。当温度升高到300 ℃，花岗岩内部裂纹扩展，结构内部损伤单元增加显著。比较图4和图5可以看出，温度加载速率大的花岗岩缺陷处的局部应力大，破坏程度也要高一些。比较图6和图7可以看出，不同温度加载速率，花岗岩能量释放不同，温度加载速率大的花岗岩声发射能量变化梯度大。

图4 温度(每步5 ℃的增长速度)作用时缺陷花岗岩热损伤演化Fig.4 Thermal damage evolution of defective granite under the action of temperature(the growth rate with each step of 5 ℃)

图5 温度(每步10 ℃的增长速度)作用时缺陷花岗岩热损伤演化Fig.5 Thermal damage evolution of defective granite under the action of temperature(the growth rate with each step of 10 ℃)

图6 每步5 ℃时的能量Fig.6 AE energy variation under growth rate with each step of 5 ℃

图7 每步10 ℃时的能量Fig.7 AE energy variation under growth rate with each step of 10 ℃

结合理论计算所得的缺陷处的局部应力和数值模拟分析数据结果对比如图8所示。数值模拟花岗岩的附加应力的结果在理论推导值附近浮动，大小变化趋势基本一致，能在一定的范围内反映真实情况。

图8 局部应力理论值与数值模拟值对比图Fig.8 Sketch of local stress between theoretical results and numerical simulation results

4 结论

通过本文研究可以得出如下结论：

1) 缺陷花岗岩在温度加载过程中，在花岗岩内部产生了对应温度的热应力，同时在缺陷尖端附近出现应力集中，该应力为局部应力。当缺陷尖端局部应力达到花岗岩的抗拉强度时，花岗岩缺陷周围的颗粒单元破坏，花岗岩原有裂纹快速扩展、裂纹进一步演化。花岗岩缺陷处的局部应力与温度初始值、温度最终值、温度变化率、花岗岩初始缺陷的尺寸、缺陷处的应力集中系数紧密相关。

2) 应用损伤理论，引入加温速率、花岗岩自由能参数对缺陷花岗岩损伤演化效应的影响，得到了花岗加温速率不同时局部应力做功原理，推理出花岗岩在考虑加温速率和花岗岩损伤耦合效应时花岗岩的能量函数。

3) 通过数值模拟方法，进行了单裂纹缺陷花岗岩在加温时热应力、热损伤定性数值模拟，得出温度加载速率大的花岗岩缺陷处的局部应力和能量较大，破坏程度也要高一些，模拟结果和理论推导结果一致。