小学数学教材中的空间观念及其水平划分

李丹杨 吴骏

“图形与几何”是小学数学课程内容的重要组成部分，承载着建构空间观念、发展几何直观的重任。目前高中已将空间观念和几何直观归结为直观想象，作为六个数学核心素养成分之一进行讨论，义务教育初中阶段亦沿用此方式。小学阶段则将空间观念作为核心素养，几何直观视为空间观念的衍生素养进行素养架构。本文从空间观念入手，以现有人教版小学数学教材“图形与几何”内容为例，进行教材分析，并利用学科核心素养水平评价框架对其做出划分。

一、小学数学教材中的空间观念

小学数学教材中，与空间观念关系最为密切的内容，当属“图形与几何”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，空间观念主要包括以下几个内容：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。依据该描述，可以把小学数学中的空间观念简述为四个方面：抽象图形，描述物体；想象方位与位置关系；描述图形运动变化；画图。人教版小学数学教材中涉及“图形与几何”的部分共25个单元，包括图形的认识、测量、图形的运动以及图形与位置四个方面的内容。对人教版小学教材“图形与几何”内容中的空间观念梳理如表1所示。

由表1可见，“图形与几何”内容中空间观念的呈现具有以下特征：

第一，从二年级起，同一个部分的几何内容，往往承担两个或两个以上的空间观念素养要求的培养任务。例如，在《角的初步认识》单元中，教材利用例1、例3、例5进行“角的抽象、角的分类和角的大小比较”，体现了“抽象图形，描述物体”的空间观念要求；例2、例4和例6的“直尺和三角板画角操作”，则体现了“画图”的空间观念要求。

第二，“图形与几何”教材内容中，空间观念的各个方面均有所呈现，其中抽象图形，描述物体，以及画图出现次数较多，分别为13次和11次；想象方位与位置关系描述，以及图形运动变化出现次数较少，分别为6次和4次。可见，教材更注重培养学生的动手操作能力，而难度较大的空间想象能力则较少。

第三，教材中空间观念与几何直观的培养相伴而行。教材中涉及测量和图形位置关系的单元，更多地是想借助数字进行图形的测量或者图形位置的描述，这是一种几何直观要求的体现。从一到六年级来看，教材中几何直观的要求随着空间观念内涵的丰富而越来越明确，最终形成数形结合的思想。

二、小学数学教材中空间观念的形成方式

1.从生活实物到几何图形，再到生活运用。分析教材中的例、习题可见，教材中空间观念的形成，通常是通过我们生活的三维世界来认识图形（立体图形），之后抽象简化成平面基本图形，分析图形的结构、位置、性质、分类、测量、变换等数学特征，再还原运用到三维世界的一个螺旋上升式的学习过程（如图1）。例如，一年级上册我们首先从数学的角度认识生活中的立体图形——“认识图形（一）”单元；之后在下册中分解我们认识到的立体图形的各个侧面，从而了解平面图形——“认识图形（二）”单元，为二年级开始的平面图形的深入学习做准备；最后到六年级又回归到立体图形的学习——“圆柱与圆锥”单元。

2.几何发展史的逻辑沿袭。教材中，“图形与几何”的内容顺序与学习方式基本沿袭了数学中几何发展的逻辑过程。内容的顺序方面，教材从基本的点、线、角图形出发，再到三角形、圆这类基本平面图形，最后认识圆柱与圆锥等一些常见立体图形。学习的方式方面，结合小学生学习特征，教材采用古人最初认识几何图形的方式，以直观几何和经验几何的研究方法为主，多利用实验几何方式形成空间观念，仅在小学高段教材中，略微渗透一些演绎几何内容。

3.螺旋上升式的单元内容。相较于空间观念中图形抽象和画图部分的教材表述而言，教材对图形位置和图形变化的编排，更为结构化，以显而易见的螺旋上升的形式呈现内容，但从该部分教材各年级分册的单元命名情况来看，还需进一步完善，例如一年级上册和五年级上册教材中均出现了“位置”单元，但其呈现的内容显然不同，但又相互联系，是否可以考虑如三年级下册和六年级上册的命名方式，位置分为（一）、（二）两部分进行，从而更好地体现12册书中知识的关联性。此外在图形变化方面，教材拟通过“图形的运动”这样类似的单元，建立最基础朴素的对称、平移、旋转观念，从低段的辨别三种基本变化，再到高年级段的借助画图等方式，感受变化当中的规律和不变量，逐渐提升空間想象力。

三、小学数学教材中空间观念的水平划分

核心素养的评价离不开素养水平的划分，空间观念的要求均随着年级和内容理解深入的加深，而要求升级。借助学科核心素养水平分析框架，可将教材中的空间观念素养水平分为知识理解、知识迁移、知识创新三个方面。其中知识理解指的是学习者对知识的本质、类属以及与其他知识之间的种种联系的理解；基本技能的形成和发展两个方面。知识的迁移指知识在新情境中的应用以及知识的综合应用两方面。知识的创新包含两层含义，一方面是：学习者能够解决一些非常规开放性；或者产生超越教材规定内容的数学知识；或者对问题进行推广与变式得到一个新问题。另一方面是：学生能够用数学思维看待和处理一些现实生活中的问题。以教材中“图形与位置”的内容为例，参考课程标准以及一线教师和人教版教材解读资源对该内容的陈述，可将其对应的空间观念按素养水平进行分析，如下表2。

由表2可见，空间观念的素养水平有如下特征：

首先，纵向上看，相同水平的知识素养要求随着年级的递增而呈螺旋上升的趋势。以“知识理解”水平为例，描述位置的要求随着年级的增加而越来越精确，从起初的简单方位，到小学高段的会利用数对、距离和角度描述图形位置，掌握描述位置的数学方法，提高空间想象的能力。

其次，横向上看，相同年级“图形与位置”的内容要求，从知识理解、知识迁移到知识创新难度逐渐增加。例如，六年级上册的“位置与方向（二）”单元中，要求在掌握确定位置的方法基础上，还需绘制和描述简单的线路图，从中提升数学思维的应用能力，以形成可迁移、可应用的认知结构，从而实现运用数学语言精确描述和确定生活中的位置。

最后，虽然空间观念素养的三个水平要求各有不同，但教材在实现水平较高的要求时（通常是知识迁移或知识创新方面），教材亦会先回归到最初的知识理解水平内容创造背景，先进行消化和吸收，再逐步上升到较高水平，这样便于学生学习和理解。例如，当教材在遇到很难根据一个方位，推出其他方位时，教师便会引导学生折回至依据具体情境认识八个方位，用词描述方位的知识理解水平，强化认知，再进一步理解更难的内容。

总之，空间观念是数学臆测的载体，利于提升学生的数学创新能力。教材对空间观念的呈现体现了几何思维水平从视觉、分析到非形式化演绎的过程。空间观念的形成虽伴随几何教学，但不止于几何教学，教材从生活中的数学出发，呈现数学符号化的过程。