初中数学深度学习之框之法

许亿锋

(广东省深圳中学龙岗初级中学 518172)

数学深度学习是抓住数学学科的内部规律，是学生形成数学核心素养的关键环节.那如何引导学生深入学习呢？本人认为，比题海战术更胜一层楼是多题一解和一题多解，多题一解是指一个方法可以解很多道题，而一题多解是指用很多方法解一道题，那方法与方法之间的内在联系就是数学的内部规律，所以找到方法之间的核心思想就是深度学习.本文从初中数学常见几何压轴题题型为例，由浅入深，阐述如何培养深度学习能力.

一、多边形面积框之法

从小学到初中，学生学习过的平面多边形面积公式有：矩形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、菱形、不规则多边形和二次函数中斜放三角形面积公式，其实我们教的这些面积公式都可以转化为一个面积公式：矩形面积=长×宽.

1.常见平面多边形面积公式

2.二次函数中的常见压轴题的面积问题

我们可以发现，它们都有斜着放置的边长，而矩形、正方形的边长是相对横着或者竖着放置，所以，我们可以通过在它们外面放置一个矩形或者正方形，将斜着放置的边长“框”起来(也可剪拼)，转化为横着或者竖着放置，将复杂问题简单化.

二、斜放直角框之法

上面我们研究了面积问题，接下来我们来研究边长和坐标的问题.含有直角的平面图形有正方形、矩形、直角三角形，这些图形斜放问题都可以用横着或者竖着放置的正方形、矩形、直角三角形将原来的图形框住，从而转化为横着或者竖着放置的问题.

1.斜放矩形无直角坐标系

上述问题中，难题是斜着放置的正方形或者矩形，而我们可以用横着放置的正方形或者矩形框住原来的正方形或者矩形，将复杂问题简单化.

2.斜放直角三角形

直角三角形其实就是矩形的一半，我们同样可以通过使用横着放置的矩形框住斜着放置的直角来解决.

上述问题中，难题是斜着或者吊着放置的直角三角形，而我们解决的方法是，用横着放置的正方形或者矩形框住原来的直角三角形，将复杂问题简单化.

三、斜放线段框之法

斜放直角的问题转化为横着或者竖着放的直角三角形问题，那斜放的线段可以转化为横放或者竖放的线段问题吗？其实，我们可以用直角三角形框住斜放线段来解决.

1.二次函数压轴题中斜放线段

斜放线段的难点在于，求长度缺两条直角边，求坐标缺垂直与x轴或者y轴的垂线段，而我们解决问题的办法就是在斜放的线段两端补充两条直角边，构成直角三角形.所以斜放线段，直角三角形框之.

综上所述，所有平面多边形的面积公式由矩形的面积公式转化而来；不规则多边形和斜放多边形的问题，可以用矩形框之，转化为矩形和直角三角形的问题；斜放直角的问题，可以用矩形框之，利用全等或者相似，转化为直角三角形的问题；斜放线段的问题，可以用直角三角形框之，利用全等、相似或者勾股定理，转化为直角三角形的问题.用一句心法总结框之法：不规则或者斜放多边形,矩形框之；斜放直角或线段,直角三角形框之.框之法不仅仅是一种方法，更是一种思想，也反映了数学的本质.