巧用赋值解函数,数学核心素养是本

广东省肇庆市德庆县香山中学(526600) 李素琼

关键字 赋值法;函数;数学核心素养

在解数学题时,运用逻辑推理方法,一步一步地寻求必要条件,最后求得结论,是一种常用的方法.对于有些问题,若能根据其具体情况,合理地、巧妙地对某些元素赋值,特别是赋予确定的特殊值,往往能使问题获得简捷有效的解决.

高考题数学编制有12道选择题,函数的考查不仅是高考的热点,更是高考的高频点,尤其是函数性质,函数考查有易、中、难三个层次,高考中三种层次都常出现,若是压轴题,考生常常束手无策,主动放弃,对于选择题往往有一定的解题技巧,尤其是赋值法的妙用,以下是个人总结和见解,请各位专家和老师指导斧正!

一、赋特殊数

例 1(2012年新课标卷 2文科数学第11题)当时,4x＜logax,则a的取值范围是( )

命题意图本题考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想,是中档题.

解析2根据指数函数y=4x的图象和性质,以题意,易判断函数y=4x的值域为(1,2],则满足题意,对数函数y=logax必须大于等于2,则排除C、D;赋则当时,明显2＞1,排除A,选择B.

例2(2014年新课标卷1理科数学第11题)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则a的取值范围为( )

A.(2,+∞) B.(-∞,-2)

C.(1,+∞) D.(-∞,-1)

命题意图本题考查导函数及分类讨论、数形结合思想,是难题.

解析1由已知可知a0.因为f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x=0 或

①当a＞0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且f(0)=1＞0,故f(x)有小于0的零点,不合题意.

②当a＜0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,要使x0＞0且唯一,只需即a2＞4,所以a＜-2,故选B.

解析2依题意,f′(x)=3ax2-6x,赋值a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)＞0;时,f′(x)＜0;时,f′(x)＞0,注意f(0)=1,则f(x)的大致图象如图1所示.不符合题意,排除A,C.赋值时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈时,f′(x)＜0,时,f′(x)＞0,x∈(0,+∞)时,f′(x)＜0,注意f(0)=1,则f(x)的大致图象如图2所示.不符合题意,排除D.故选B.

图1

图2

以上两道例题,涉及到分类讨论,因为选择题中选项已经给出范围,所以可以根据选项,适当地赋值,排除答案;赋值中虽然避免了对参数的讨论,但是在赋值中,体现了学生对该核心知识点的理解、应用,是更深层次体现学生的数学核心素养.

二、赋特殊点

画函数的图象,需要求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等相应的函数性质,要画准确的图象,往往要借助于几何画板等工具,在学习、考试中就要掌握函数的相应性质,尤其是特殊点的定位,因此客观题中解决此类问题赋值法就有举足轻重的作用.赋点,一般是原点、零点、与坐标轴的交点、中点、极值(最值)点等特殊点.

例3(2012年新课标卷2理科数学第10题)已知函数则y=f(x)的图像大致为()

解析1令g(x)=ln(x+1)-x,则所以当-1＜x＜0时,g′(x)＞0;当x＞0时,g′(x)＜0,所以g(x)max=g(0)=0.函数g(x)的大致图象如图3所示:g(x)=ln(x+1)-x≤0对x∈(-1,+∞)恒成立,当且仅当x=0时,取等号,故值域是(-∞,0),所以函数在x∈(-1,0)∪(0,+∞),则有f(x)＜0,所以其图像为B.

图3

解析2由函数的定义域(-1,0)∪(0,+∞)知,排除D;赋x=1,则排除A;赋则排除C,所以选B.

例4(2016年新课标卷1理科数学第7题)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为()

图4

图5

图6

解析2设f(x)=2x2-e|x|,由f(2)=8-e2∈(0,1),可排除A,B;赋x=0时,f(0)=2·02-e0=-1;赋时,赋x=1时,f(1)=2·12-e1∈(-1,0).易得即在x∈(0,2)函数f(x)先单调递减再单调递增,排除C,故选D.

注:排除C,用零点判定是否存在极值点,从而得出单调性,即在x∈(0,2) 时,f′(x)=4x-ex,f′(0)·f′(1)=-(4-e)＜0,所以f(x)在(0,1)上不是单调函数,排除C,故选D.

函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即通过赋值和函数性质排除不符合条件的选项.

三、赋特殊函数

抽象函数没有具体的函数解析式或图像,因此很难找到直接的求解思路,但如果能够从函数所满足的部分性质或运算法则入手,借助赋值法来化抽象为具体;解决此类问题的有力手段就是赋值,巧妙赋值,有效解决抽象函数的问题.

例5(2015年新课标卷2理科数学第12题)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf′(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析1设因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以所以h(x)是偶函数.因为xf′(x)-f(x)＜0,所以所以h(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,且h(±1)=0,如图7所示,可知满足f(x)＞0的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.

图7

解析2根据题意,赋函数f(x)=-x3+x,求f(x)＞0转化成求-x3+x＞0,易求解x＜-1或0＜x＜1,即满足f(x)＞0的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.

例6(2016年新课标卷2理科数学第12题)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数与y=f(x) 图像的交点为 (x1,y1),(x2,y2),···,(xm,ym),则

A.0 B.m C.2m D.4m

解析1由f(-x)=2-f(x)得,f(x)关于(0,1)对称,而也关于(0,1)对称,所以对于每一组对称点有所以故选B.

以上近几年新课标1和新课标2部分高考真题为例,从赋特殊值、特殊点和特殊函数三方面剖析赋值法的应用,赋满足题意特殊值、特殊点、特殊函数,不仅简化了运算量,而且体现学生对知识点掌握的情况,若要灵活应用赋值法,学生必须有扎实的数学功底,更是数学核心素养的体现.