关于数学“变式教学”的几点思考

赵水祥

【摘要】如何在数学课堂教学中利用教学内容促进学生数学核心素养的形成和发展，是当前中学数学教学研究的重要课题，也是《普通高中数学课程标准》的要求，“变式教学”应运而生，是达成目标的重要教學方法之一.数学课堂的“变式教学”无怪乎数学知识（概念、定理、公式等）的“变式教学”和数学解题的“变式教学”，因此我们应做好这两方面的工作.

【关键词】数学知识;数学解题;变式教学;思考

数学“变式教学”就是采用数学变式（包括有关知识结构的概念性变式和活动经验的过程性变式）进行的教学.“变式教学”是课堂教学中学生获取知识的重要途径之一，它能够提高学生思维能力和课堂效率，是搞好有效教学的保证.那么怎样认识数学课堂的“变式教学”？又如何进行数学课堂“变式教学”呢？本文主要谈谈如何进行数学知识和数学解题的“变式教学”.

1数学知识的“变式教学”

数学知识包括概念、定理、公式等，数学知识的“变式教学”可从知识的引入、理解、证明、变形、巩固等多个方面的变式来进行.1.1引入变式

所谓数学知识的引入变式，就是在学习一个新知识时，将知识还原到客观实际如实例、模型或已有经验等中进行引入，通过变式移植知识的本质属性，使实际现象数学化，达到展示知识形成过程，促进学生知识形成的目的.

例1等比数列的教学，人教课标A必修5是通过细胞分裂、古代问题、计算机病毒、银行利率等现实生活中的问题引入给出概念的.除了课本中由实例进行的4种引入方法外，还可以有下面的引入方法.

变式引入1人人都知道珠穆朗玛峰是天下第一高峰，海拔8844.43米，称作世界屋脊.然而你是否会想到，拿一张报纸（假设报纸足够大），连续对折30次，其厚度能够超过珠穆朗玛峰！这是为什么？

一张报纸厚0.01厘米，对折1次后总厚度是0.01×2，对折2次后总厚度是0.01×22，对折3次后总厚度是0.01×23，……，对折30次后总厚度是0.01×230，因此引出由0.01×2，0.01×22，0.01×23，……，0.01×230，……，研究这一数列的特点，给出等比数列的定义，进而告诉学生对折30次后总厚度是0.01×230=10737418.24厘米，也就是大约107374米.这比12座珠峰加起来还要高！这种以实例引入概念的方法不仅突出了数学的应用性，而且极大地激发了学生学习的兴趣.

变式引入2以具体的等比数列引入，先给出四个数列：①1，3，9，27，……;②2，-2，2，-2，……;③-1，12，-14，18，……;④5，5，5，5，…….由学生自己研究这四个数列中，每个数列相邻的两项之间有何关系？这四个数列有什么共同的特点？由此引出等比数列的概念.这种方法让学生自己去研究，去归纳，从中发现规律，突出了以学生为主体的思想，训练和培养了学生的归纳思维能力.

变式引入3以等差数列引入，开门见山，明确地告诉学生“我们这节课要学习等比数列了，它与等差数列有着紧密的联系，同学们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列.首先请同学们回忆，什么样的数列是等差数列？你能由此类比着猜想什么是等比数列吗？试举出一两个例子，说出它的定义”.这种方法比变式引入2更带有激发性，学生的参与程度更强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑、动手去研究，从思维的类型看，这种方法主要培养学生的类比思维能力，可以进一步培养学生的分析问题和解决问题的能力.

1.2理解变式

所谓知识的理解变式，就是探求知识的等价形式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解知识，灵活应用知识的目的.

例2教学双曲线定义，进行理解的变式探讨.

双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.

定义中的关键词是“绝对值”、“常数”、“小于|F1F2|”，为使学生有比较深刻的认识和理解，可引导学生作如下变式探讨：

变式1将定义中的“小于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？

变式2将定义中的“小于|F1F2|”换为“大于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？

变式3将定义中的“绝对值”去掉，其余不变，点的轨迹是什么？

变式4将令“常数”等于零，其余不变，点的轨迹是什么？

变式5将“小于|F1F2|”去掉，其余不变，点的轨迹是什么[1]？

通过上述的变式，澄清学生的模糊认识，加深了对双曲线定义的理解，从而在审题中不被“形”迷惑，能透过“形”的本质，让学生发现问题本质.1.3证明变式

证明变式是指定理、公式的多证变式，就是在提出定理、公式后，引导学生对定理、公式实施多角度的观察与思考，探求其证明、推导方法，通过观察角度的变换，各种不同方法的比较，帮助学生培养探索意识和创新能力.从学生心理特点来看，每个学生都有探索和创造的潜能，关键是如何激发他们学习的兴趣、动机和求知欲.

例3点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2的推导，人教课标A必修2是运用“等积法”给出的，作为培养学生创新意识和创新思维的好素材，教学中给出了另外的几种变式推导方法.

变式方法1（解析法）

设过P（x0，y0）与直线l：Ax+By+C=0垂直（垂足为Q）的直线l′的方程为：

B（x-x0）-A（y-y0）=0.①

将直线l：Ax+By+C=0改写为Ax+By+C-Ax0-By0=-Ax0-By0，

即A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）.②

由①2+②2，得（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2.

如果A≠0，B≠0，所以（x-x0）2+（y-y0）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.故d=|PQ|=（x-x0）2+（y-y0）2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

如果A=0或B=0，此公式仍成立.

变式方法2（函数法）

设直线l上任一点H（x，y），则|PH|2=（x-x0）2+（y-y0）2，①

由Ax+By+C=0改写为A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

所以B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）-A（x-x0）.②

①、②两式联立，得B2·|PH|2=B2（x-x0）2+[A（x-x0）+（Ax0+By0+C）]2.

令x-x0=t，Ax0+By0+C=h，得B2·|PH|2=B2t2+（At+h）2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，

此为关于t的二次函数，二次项系数大于0，故函数有最小值.

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

变式方法3（方程法）

由变式方法2中B2·|PH|2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，得（A2+B2）t2+2Aht+h2-B2·|PH|2=0.由Δ=（2Ah）2-4（A2+B2）（h2-B2·|PH|2）≥0，

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

這样的教学，能有效地拓宽学生的解题思路，提升思维能力.1.4变形变式

所谓变形变式主要是指定理、公式的变形变式，就是探求定理、公式的变形与推广形式，并用之解决相关问题.每个定理、公式都可以有许多变式，这些五彩缤纷的变式为我们培养学生的应变能力提供了广阔的天地.

例4正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R是△ABC外接圆半径）反映了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.教学中为使学生加深理解和灵活运用，给出了下面的变形变式：

变式1a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

变式2sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.

变式3a=bsinAsinB=csinAsinC，b=csinBsinC=asinBsinA，c=asinCsinA=bsinCsinB.

变式4a：b：c=sinA：sinB：sinC.

变式5a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC=2R.

利用这些变形变式能实现同一个三角形中边与角的互化，从而有利于问题的转化与解决.

1.5巩固变式

所谓概念巩固变式，就是设计直接应用知识的练习变式题组，并通过题组的讨论解决达到熟悉知识、巩固知识、应用知识，提高解决问题能力的目的.

例5教学抛物线的定义后，设计了下面的巩固变式题组：

变式1抛物线y2=8x上的点（4，-42）到焦点的距离等于.

变式2抛物线y2=8x上到焦点的距离等于6的点的坐标是.

变式3动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则动点P的轨迹方程为.变式4过抛物线y2=8x的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点M的横坐标是6，则|AB|=.

变式5已知F是抛物线y2=8x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为.

变式6已知A，B为抛物线y2=8x上的动点，|AB|=6，则AB的中点P到y轴距离的最小值.

通过这样一组巩固变式题组，加深了对抛物线定义的理解和应用，强化同学们运用知识解决问题的能力，达到灵活多变的效果.

2数学问题的“变式教学”

问题解决是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想方法联系起来的一条纽带，能达到强化基础、传授方法、揭示规律、启发思维、激励创新、培养能力的目标.在问题解决的教学过程中，当学生获得一系列基本解法后，应通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种途径，强化学生对知识和方法的理解、掌握和变通，帮助他们对问题进行多方面、多角度、多层次的思考，使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或获得同一问题的多种解答或多种结果.

2.1一题多解（证）

对于一道数学题，由于做题的着眼点和角度的不同，会有许多不同的解题方法.在教学中，要抓住一切有利时机，鼓励学生经常有意识地在掌握常规方法的基础上，再回过头来从多角度、多方位去思考，寻求更好、更简捷巧妙的变式方法，这样有利于学生对基础知识的纵横联系和沟通，也有利于数学思维能力的提高.

例6（2017年高考江苏卷·12）如图1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），则m+n=.

变式方法1代数运算方法——利用数量积运算

OC·OA=（mOA+nOB）·OA=mOA2+nOB·OA，OC·OB=（mOA+nOB）·OB=mOA·OB+nOB2，得

2cosα=m+ncos（α+45°），2cos45°=mcos（α+45°）+n，所以m+n=2（cosα+cos45°）cos（α+45°）+1.

由tanα=7，求得cosα和cos（α+45°）的值，代入得m+n=3.

本解法从向量的模和夹角出发，巧妙地利用向量的数量积运算和三角恒等变换求解，很是富于创意.

变式方法2坐标运算方法

如图2，以点O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

则A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（cosα，sinα），即

OA=（1，0），OB=（cos（α+45°），sin（α+45°）），OC=（2cosα，2sinα）.

由tanα=7，求得sinα，cosα，cos（α+45°），sin（α+45°）的值，代入OC=mOA+nOB，得m-35n=15，45n=75，解得m，n即可.

利用平面向量的坐标运算，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.本解法是通过建立平面直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，利用向量相等转化求解的，体现了数学建模思想的运用.

变式方法3几何方法——利用向量的运算法则

如图3，过C作OB的平行线交OA的延长线于A′，作OA的平行线交OB的延长线于B′.

根据向量加法的平行四边形法则，得OC=mOA+nOB=OA′+OB′，所以mOA=OA′，nOB=OB′，所以|OA′|=m|OA|=m，|OB′|=n|OB|=n.

在△OA′C中，由余弦定理得n2=m2+2-22mcosα=m2+2-25m，①

在△OB′C中，由余弦定理得m2=n2+2-22ncos45°=n2+2-2n.[JY]②

由①②解得m，n即可.

本解法利用向量加法的平行四邊形法则，并结合三角形中的余弦定理，将问题几何化，体现了数形结合思想的运用.

变式方法4利用向量三点共线定理和等积法

向量三点共线定理平面中A，B，C三点共线存在唯一的一对实数x，y，使得OC=xOA+yOB（O为平面内任意一点），且x+y=1.图4

因为OC=mOA+nOB（m>0，n>0），所以OCm+n=mm+nOA+nm+nOB.

设OCm+n=OC′，则OC′=mm+nOA+nm+nOB.

因为mm+n+nm+n=1，所以A，C′，B三点共线（如图4），且m+n=OCOC′=2OC′.

由S△AOC′+S△BOC′=S△AOB，得

12|OA||OC′|sinα+12|OB||OC′|sin45°=12|OA||OB|sin（α+45°），所以7210|OC′|+22|OC′|=45，所以|OC′|=23.

所以m+n=2OC′=3.

本解法巧妙地构造三点共线模型，并利用三角形的等面积法求解，思维独特、匠心独具，对拓展同学们的解题思路颇有裨益.2.2一题多变

对于一些典型的题目，应从多方面进行多变变式，经过大量变式不断变换问题情景，将题目横向、纵向拓展，以一当十、触类旁通，可以有效地提高教学效率.

例7（人教A版必修四第146页第5题）化简：sin50°（1+3tan10°）.

变式1化简：（1-2sin220°）（1+3tan10°）.

变式2化简：1sin50°-3tan10°.

变式3若实数m使得sin50°（m+3tan10°）=1，则m的值为

.

变式4若实数m使得sin50°（m+3tan80°）=1，则m的值为.

变式5是否存在实数m，使得sin50°（m+3tan10°）=1？若存在，求出m的值;若不存在吗，说明理由.

这样，通过一题多变，不仅使学生加深理解和掌握知识，更重要的是开发了学生的智力，培养和提高了学生的发散思维能力.2.3一题多用

同一类型的问题，其解法往往有其规律性，发现归纳知识间的内在联系，挖掘出数学思想与方法，总结概括出解题的基本规律.这样，既有利于使学生对问题的认识上升到一个更高层次，又有利于学生的概括思维能力的训练和提高.

例8见例6.

这是高考中常出现的一类向量问题，相关的高考题还有：

变式1（2007年高考陕西卷理·15）图5

如图5，平面内有三个向量OA，OB，OC，

其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈[WTHZ]R[WTBX]），则λ+μ的值为

[CD#3].（答：6）

变式2（2009年高考安徽卷理14）给定两个长度为1的平面向量OA，OB，它们的夹角为120°.如图6所示，点C在以O为圆心，以1为半径的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB（其中x，y∈[WTHZ]R[WTBX]），则x+y的最大值是[CD#3].（答：2）

为此，我们可以提炼出这类问题的一般模型：如图7，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为r1，r2，r，OA与OC的夹角为α，OB与OC的夹角为β.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），则m+n=[CD#3].

有了例6的解法，这一类问题也就迎刃而解了.

3结束语

数学“变式教学”是使学生深入理解、掌握和灵活运用知识的有效途径，对于激发学生的数学思维，促进数学核心素养的形成和发展有着极为重要的作用.在数学课堂的“变式教学”中，我们应当有：衣带渐宽终不悔，为“变”消得人憔悴的情怀，使变式教学成为我们数学课堂教学不断进取和追求的至高境界和目标.陶哲轩在《解题·成长·快乐》序言中引用古希腊哲学家普罗克洛斯的话：“这，就是数学：她提醒你灵魂有不可见的形态，她赋予自己的发现以生命;她唤醒悟性，澄清思维;她照亮了我们内心的思想;她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知…….”笔者以此与各位同仁共勉！

参考文献

[1]周万林.加强变式教学培养思维品质[J].数学教学研究，2003（3）.