一道2018年江苏省高中数学竞赛初赛试题的推广

2018年全国高中数学联赛江苏省初赛第11题为：[TP喻秋生-1.tif，Y][TS（][JZ]图1题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P（0，1）的直线l与圆O交于A，B两点，与x轴交于点Q，设QA=λPA，QB=μPB，求证：λ+μ为定值.

此题通过计算得λ+μ=83，因此，λ+μ的值为定值.

1问题的提出

如果将题目中的圆改为其它圆锥曲线，点P为y轴上的任意定点，其它条件不变，λ+μ为值是否为定值？另外，如果点P为x轴上的任意定点，点Q为直线l与y轴的交点，其它条件不变，λ+μ为值是否为定值？

2问题的一般化探究

经过研究，可以得出下列结论：

[TP喻秋生-2.tif，Y][TS（][JZ]图2[TS）]

结论1如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2b2b2-m2.

证明当直线l的斜率不存在时，点Q为原点，直线l与椭圆C的两交点为A（0，b）、B（0，-b），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=bb-m，μ=bb+m，λ+μ=2b2b2-m2.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），则点Q的坐标为（-mk，0），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=1+mkx1，μ=1+mkx2，λ+μ=2+m（x1+x2）kx1x2.[JY]（*）

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，

将x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2代入（*）并化简，得λ+μ=2b2b2-m2.

综合可得结论1成立.

结论2如图3，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点P（0，m）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与双曲线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2b2b2+m2.

结论2的证明与结论1类似.在结论1、结论2中，点P为y轴上的定点，点Q是l与x轴的交点，如果点P是x轴上的定点，点Q是l与y轴的交点时，也有类似的结论：

[TP喻秋生-34.tif，BP][TS（][JZ]图3图4[TS）]

结论3如图4，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（m，0）（m≠±a）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与椭圆C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2a2a2-m2.

结论4如图5，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点P（m，0）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与双曲线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=2a2a2-m2.

如果曲线为抛物线，则当且仅当点P在抛物线的对称轴上时，λ+μ的值恒为常数.

[TP喻秋生-56.tif，BP][TS（][JZ]图5图6[TS）]

结论5如图6，已知抛物线C：y2=2px，点P（m，0）为定点，直线l过点P与y轴交于点Q，且与抛物线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ=1.

3问题的进一步拓展

在结论1中，点P、Q分别在椭圆的长轴、短轴上，我们知道，椭圆的长轴、短轴是椭圆的一对互相垂直的共轭直径，如果点P、Q分别在椭圆的非垂直的共轭直径上，λ+μ的值是否仍为定值呢？

[TP喻秋生-7.tif，Y][TS（][JZ]图7[TS）]

结论6如图7，已知曲线C为有心圆锥曲线，线段MN、ST是曲线C的一对非垂直的共轭直径，点P为线段MN上定点，直线l过点P与线段ST交于点Q，且与曲线C交于A，B两点，设QA=λPA，QB=μPB，则λ+μ为定值.

证明当曲线C是椭圆时，设椭圆C的方程为C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），线段MN、ST所在直线的方程分别为y=k1x、y=k2x，点P的坐标为（m，k1m），依题意，k1、k2、m均为定值.

当直线l的斜率不存在时，点Q的坐标为（m，k2m），直线l与椭圆C的两交点为A（m，baa2-m2）、B（m，-baa2-m2），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=ba2-m2-k2amba2-m2-k1am，μ=ba2-m2+k2amba2-m2+k1am，

λ+μ=ba2-m2-k2amba2-m2-k1am+ba2-m2+k2amba2-m2+k1am=2a2b2-2b2m2-2k1k2a2m2a2b2-b2m2-k12a2m2.

根据椭圆共轭直径性质[1]，有k1k2=-b2a2，则λ+μ=2a2b2a2b2-b2m2-k12a2m2.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-m）+k1m，A（x1，y1）、B（x2，y2），则点Q的坐标为（（k-k1）mk-k2，（k-k1）k2mk-k2），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=x1-xQx1-xP，μ=x2-xQx2-xP，λ+μ=2x1x2-（x1+x2）（xP+xQ）+2xPxQx1x2-（x1+x2）xP+xP2.（**）

由y=k（x-m）+k1m，x2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2k（k1-k）ma2x+a2（k1-k）2m2-a2b2=0，

将x1+x2=-2k（k1-k）ma2b2+a2k2，x1x2=a2（k1-k）2m2-a2b2b2+a2k2，xP=m，xQ=（k-k1）mk-k2代入（**）并化简，得λ+μ=2（k1-k）m2（k1k2a2+b2）-2（k2-k）a2b2（k12a2m2-a2b2+b2m2）（k2-k）.

將k1k2=-b2a2代入上式，得λ+μ=2a2b2a2b2-b2m2-k12a2m2.

由于k1、m都是定值，因此λ+μ的值为定值.

类似地，当曲线C是双曲线时可同理证明.

参考文献

[1]张留杰，周明芝.椭圆共轭直径的一个性质[J].数学通讯（下半月），2015（10）.