数学问题解答

(解答由问题提供人给出)

(安徽省太和县第二小学 任迪慧 随礼敏 236630)

证明由常见公式(其中Δ表示三角形面积)

同理rbrc=pp-a，rcra=pp-b，

从而

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

因为BK是⊙O的切线，所以BK⊥AB，

所以CO∥BK.

①

②

因为OE1=BE2，所以OE2=BE1，

所以 ①×②，得CO2=BF1·BF2.

又AB是⊙O的直径，可得

BH1⊥AF1，BH2⊥AF2.

所以AB·BF1=BH1·AF1，AB·BF2

=BH2·AF2，

所以AB2·BF1·BF2=BH1·BH2·AF1·AF2，

即AB2·CO2=BH1·BH2·AF1·AF2

③

在Rt△ABF1和Rt△ABF2中，分别由勾股定理，得

(BF1·BF2)2，

⟹(AF1·AF2)2≥AB4+AB2(2BF1·BF2)+CO4

⟹(AF1·AF2)2≥AB4+2AB2·CO2+CO4=(AB2+CO2)2

⟹(AF1·AF2)2≥(AB2+CO2)2.

所以AF1·AF2≥AB2+CO2

④

由③和④，得

AB2·CO2≥BH1·BH2(AB2+CO2)，

当且仅当点E1、E2重合为OB的中点时，不等式中的等号成立.

2438在△ABC中，设三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，三角形面积为Δ，求证：

(1)

(河南质量工程职业学院 李永利 467000)

证明记

则(1)式即为

(2)

设△ABC的半周长为p，外接圆和内切圆半径分别为R,r，则由正弦定理可知

因此

=a2-(b-c)2

=(a-b+c)(a+b-c)

=2(p-b)·2(p-c)

=4(p-b)(p-c)，

同理可得

=4(p-c)(p-a)，

=4(p-a)(p-b)，

则由以上三式和恒等式

a+b+c=2p,ab+bc+ca=p2+4Rr+r2，

可得

M-N=4(p-b)(p-c)+4(p-c)(p-a)+

4(p-a)(p-b)

=4[3p2-2(a+b+c)p+(ab+bc+ca)]

=4r(4R+r)，

即M-N=4r(4R+r)

(3)

(4)

⟺16R2+8Rr+r2≥3p2，

而由Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，只需证明

16R2+8Rr+r2≥3(4R2+4Rr+3r2)

(5)

⟺4R2-4Rr-8r2≥0

⟺R2-Rr-2r2≥0

⟺(R+r)(R-2r)≥0，

而由Euler不等式R≥2r可知上式成立，故(5)式和(4)式成立，从而(2)式即(1)式成立.

2439锐角三角形ABC各边AB，AC和BC分别被延长到点D，E，F，△ADE，△BDF和△CEF的外心分别为O1，O2，O3，如果∠DCA=90°， ∠EFC=∠BAC，证明：△O1O2O3∽△ABC.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

证明如图所示，△ADE，△BDF和△CEF的外接圆分别记作圆O1，圆O2和圆O3. 设圆O3与DC的延长线交于点G，连接GE和GF.

由题设∠DCA=90°得∠GCE=90°，

又因∠FCE=∠BCA<90°，

故知F，G两点不重合，易知G，C两点也不重合，由此可得圆内接四边形CEFG.

由∠GCE=90°得

∠GFE=180°—∠GCE=90°.

由题设∠BAC=∠EFC得

∠GDB=90°—∠CAB

=90°—∠CFE=∠GFB，

因此G，F，D，B四点共圆，圆O2与圆O3除有交点F外另有交点G.

因∠DAE=∠CFE=∠DGE，

故A，D，E，G四点共圆，由此可知圆O1也过点G.

综上，圆O1与O2，圆O2与O3及圆O3与O1的公共弦依次为GD，GF和GE，而这三条公共弦的垂直平分线依次为连心线O1O2，O2O3和O3O1.

由O2O1⊥GD，EC⊥GD得O2O1∥EC，且射线O2O1与EC同向；

由O2O3⊥GF，EF⊥GF得O2O3∥EF，且射线O2O3与EF同向，

因此∠O1O2O3=∠CEF=∠ABC.

设O2O3的延长线交GF所得的垂足为H.

因GE为圆O3的直径，故O2H与GE交于点O3.

由O3O1⊥GE得

∠O2O3O1

= 90°—∠O2O3E

= 90°— ∠HO3G

=∠HGO3=∠FCE=∠BCA，

综上，得△O1O2O3∽△ABC.

2440令T=9k|k∈Z,1≤k≤2018，已知92018是1926位数 ，问T中有多少个元素以9为最左边的数字？

(湖北省谷城县第三中学 贺 斌 龚云峰 441700)

2018年9月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

2442已知a,b,c为正实数，且ab+bc+ca=1，试证明：

( 陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000 )

2443已知：如图，PA、PB、PC、PD为⊙O的顺时针排列四条弦，且∠APB=∠DPC.若AD为⊙O的直径.

求证：2PB·PC≤

(PA+PD)2.

(北京市芳草地国际学校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2444已知△ABC三边长,外接圆半径及内切圆半径分别为a,b,c,R,r,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2445如图，△ABC为等边三角形，⊙I过A、C两点，⊙O与AB、AC相切点B、C，两圆交D点，延长BD交AC于F，过⊙I点C作切线交AD延长线于E，求证：AB∥EF.