函数的幂级数展开式的应用

陈芳芳

摘 要：幂级数利用幂函数的和即多项式来表示函数，是一类形式简单而应用广泛的函数项级数。基本初等函数在一定范围内都可以展开成幂级数。幂级数的运算包含最简单的加减乘除四则运算，其积分和求导也十分方便，因此幂级数已经成为研究函数性质的有力工具，在理论证明和工程计算中有广泛应用。本文重点介绍了函数的幂级数展开式在近似计算、微分方程求解、欧拉公式证明、累积分布函数计算、电场计算中的应用，以加深对这个知识点的理解。

关键词：幂级数展开式 微分方程 欧拉公式 正态分布 静电场

中图分类号：O174.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）05（b）-0118-02

1 幂级数在近似计算中的应用

自然常数e（也称为欧拉数）是自然对数函数的底数，它是一个无理数。它不仅是描述自然界中增长规律和衰变规律的重要常数，还与利率计算、正态分布、自然界中的螺线方程和悬链线方程等问题密切相关。利用幂级数展开式，可以计算常数e的近似值。

例1.求自然常数的近似值，要求精确到

先考察的幂级数展开式：

上述计算可以通过在软件MATLAB中输入如图1的语句实现。

2 幂级数在求解微分方程中的应用

幂级数是无穷多个幂函数的和。它既可以表达初等函数，也可以表达非初等函数。在求未知函数的表达式时，用幂级数求函数的导数和积分都非常方便。下面通过具体的例子说明幂级数在求解微分方程时的应用。

例2.用泰勒级数求解微分方程并估计函数在处的值。

考虑未知函数在处的泰勒展开式

用相同的方法可以求得的值和更高阶的导数在

处的值，从而得到原微分方程解的幂级数表达式。求得该表达式以后，可以进一步估计函数在处的取值。

3 幂级数用于证明欧拉公式

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，其中最著名的公式有该公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，并建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位。

例3 利用幂级数展开式证明欧拉公式

由的幂级数展开式可得

同理可证，利用欧拉公式，可以证明高中数学中常见的三角和差化积公式。

由于

4 幂级数用于计算累积分布函数

概率统计中的正态分布也称“常态分布”或高斯分布，在数学、物理及工程等领域都具有非常重要的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的正态分布，记为一维正态分布的概率密度函数为

正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当时，正态分布就是标准正

态分布累积分布函数是指随机变量小于或等于x的概率。标准正态分布的累积分布函数可用密度函数表示为

例4 计算正态分布中随机变量大于等于-1且小于等于+1的概率。

随机变量大于等于-1且小于等于+1的概率为定积分

的值。

由于函数被积函数已被证明没有初等原函数，基于牛顿-莱布尼兹公式的定积分计算方法无法求出上述定积分的值。在实际计算时，可以利用被积函数的幂级数展开式

来实现上述定积分的近似计算。

5 幂级数在电场计算中的应用

电场是电荷周围存在的一种特殊物质。单个电荷所产生的场强为，其中E为电场强度，q为点电荷的电量，r是到点电荷的距离，k是常数。设有若干个静止的点电荷q1、q2、……qn，则它们同时存在时的场强满足电场叠加原理。原则上，利用点电荷的电场强度公式和场強叠加原理，可求出任意的点电荷系的场强。

例5一对等量异号的点电荷组成的电荷系称为电偶极子。现假设电偶极子如图2摆放，求距离电偶极子中心点o的距离为x的点P处的电场强度。

根据电场叠加原理

本文通过具体的例子阐述了幂级数展开式在数学、统计学和物理学中的应用。实际上，幂级数在上述学科领域中的应用还不只这些。例如，幂级数还可以用于证明等式与不等式、求复杂或非初等函数的导数和积分、求极限、判断数项级数和广义积分的敛散性并求和、求解积分方程、求工程问题中数学模型的数值解等。在理论证明和解决实际应用问题时，利用幂级数往往能起到事半功倍的效果，使问题的解决更简便可行。系统地研究幂级数展开式的应用，对于开阔学生的数学思维，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力具有重要的理论指导意义。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.高等教学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 邓集贤等编著.概率论及数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2009.

[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4] 龚勇清.大学物理教程[M].北京：国防工业出版社，2011.

[5] 苏灿荣，禹春福，彭凯军.幂级数在解方程中的应用[J].高等数学研究，2013，16（3）：16-18.