“量”与“率”的较量

安徽省六安市霍山县下符桥镇地税希望小学 吴绪益

【问题背景】

【归因探索】

分数的意义的理解是小学数学中的重点，也是难点，当然，北师大教材循序渐进的编排旨在对难点的分散，如在《分数的初步认识》中，学生已经结合情景和直观操作，经历了分数产生的过程，初步理解了分数的意义；《分数的再认识》又从多角度进一步抽象分数的意义。然而即便如此，在教学中也给我们的一线老师带来了很大的困扰，学生在学习过程中最大的思维障碍是对“量”与“率”的理解。上例就能充分说明如果对“量”与“率”认知混淆，将会给解决现实问题带来极大的困难。自然数是人类对自然界的第一次抽象，分数与自然数都是数，但是分数是“分出来的数”，其含义包括：量的含义是分数单位的累积，率表达的是量与量之间比的关系。而分数“率”的理解是第二次抽象。因学生的抽象思维层面没有达到一定的高度，致使认识不清，产生错误。

【对策探寻】

对量与率的深度认知不充分是二者混乱的根本原因，因而只有从理解二者的含义的角度出发才是教学的起点。率的含义：表达的是两个量之间的关系，如大豆占了这块地的，表示把这块地作为“单位1”，并将其平均分成4份，而大豆的面积占其中的1份。同理可知将这块地重新平均分成2份，棉花的面积占了其中的1份，即，所以这里的和表达的是棉花、大豆面积与这块土地面积之间比的关系。显然，这两个分数表示的是“率”的含义。而公顷表示的是具体数量，“量（liàng）”来自测量（liáng），测量需要工具，而这里的测量工具是将1公顷平均分成8份，其中的1份，即公顷作为度量单位，经过测量，这块土地是7个 公顷的累积，即公顷，表示具体土地面积的大小，也就是具体的数量。基于上述认知，现采取以下环节帮助孩子们理解。

一、直观认识，明晰关系

通过直观示意图，让学生感受具体量与分数“率”的区别，实现对二者概念的深度理解。

（1）引导观察 公顷表示的是具体土地面积的大小，它比1公顷要小一些。

（2）大豆面积是将整块地平均分成4份，而大豆面积占了其中的1份。棉花面积是将整块地平均分成2份，而棉花面积占了其中的1份。（用不同的颜色进行区分）

（3）对接问题：种玉米的面积占这块地的几分之几？这个问题关注的是种玉米的土地占整块土地的份数，问的是二者之间的关系，表达的是“率”，所以本题的正确解答是：

（4）将算式与上面的直观图进行对接，感受其合理性。

二、对比练习，深化认知

（1）请根据下面两题的题干信息，连接合适的数学问题。

（2）引导学生观察与思考，这两个问题有什么不同？

题A：所有分数都有单位，表示的是具体的数量，问题是面积的大小。

题B：所有分数没有单位，表示的是整体与部分的关系，跟这块地的大小没有关系。

由此看来，分数有两个现实背景：“量”的含义以一个事物的量为基准，对另一个事物的量进行度量，此时用分数表达度量的结果，本质上就是商的含义。“率”的含义则是比较的结果，表达是比例关系。与被分对象的大小、形状无关，从而得到分数是一种无量纲的数，本质上是比的含义。只有将二者从本源上区分开，“量”与“率”的较量才会休止，否则将始终困扰着孩子们的分数学习。