平行光垂直入射光栅面的调节方法探讨

李子良

[中国矿业大学(北京)理学院 北京 100083]

陆丁

(北京交通大学附属中学 北京 100081)

根据光栅的衍射现象，利用分光计测量光栅常数是普通物理实验中的重要内容[1～3]．通常光栅常数的测量是利用平行光垂直入射光栅时的光栅方程实现的，所以操作上要求平行光是垂直入射到光栅上的．就平行光非垂直入射对测量结果的影响，文献[4]讨论了光栅以3种不同方式倾斜时对光谱波长测量的影响，文献[5]则证明了光栅以与小平台接触的长边为轴有旋转时对光栅常数测量的影响可以忽略．但是，光栅以中心刻线方向为轴有旋转时对光栅常数测量的影响是不能忽略的．此时，可以用自准直法调节光栅实现平行光垂直入射到光栅上[6]，还可以通过调节光栅使正负一级光谱的偏向角之差达到一定范围来实现．由于学生在光栅衍射实验之前做过测量三棱镜折射率的实验，对自准直法已经非常熟悉，所以第二种方法更能拓宽学生的知识面，提高学生的实验技能，加深学生对光栅衍射实验的理解．下面主要讨论该操作方法．

1 调节方法

首先，打开光源预热并对分光计进行必要的调节[1,2]．然后，在分光计载物台上目测放置光栅使光栅面垂直于平行光管光轴，分别测量出零级光谱(中央眀纹)及其左右两侧的负正k级光谱的方位．根据测量结果计算出正负k级光谱所对应的偏向角(正负k级光谱偏离入射光的角度)，并判断它们的大小．如果正k级光谱的偏向角大，那么就逆时针转动载物台(从俯视的角度观察)，如果负k级的大，就顺时针转动载物台．之后，再次测量正负k级光谱的方位，计算相应偏向角之差，判断是否达到了垂直入射的标准．如果还不满足，则重复上述的操作技巧，直到调节到平行光垂直入射到光栅为止．另外，需要注意判断平行光是否垂直入射到光栅上的标准是与测量精度的要求有关的．通常实验教材里认为平行光垂直入射到光栅上的判断标准是正负一级光谱的偏向角之差不超过2′[1,2]．事实上，这一标准所对应的测量精度是非常高的，在实际教学中，学生操作起来并不容易．因此，在测量精度要求不高的情况下可以适当放宽判断标准，这既能让学生掌握操作方法，又能高效地完成实验．

2 理论证明

该部分将通过给出正负k级光谱对应的偏向角之差与斜入射角度的关系，从理论上证明平行光垂直入射光栅的调节方法的合理性．

首先，考虑入射角θ比较小时，如图1所示，φ+和φ-分别为正负k级光谱与光栅法线的夹角．此时，φ+和φ-分别位于光栅法线上下两侧，正负k级光谱对应的偏向角分别为φ+-θ和φ-+θ，则由斜入射光栅方程[3]

可得正负k级光谱对应的偏向角之差为

F1(θ)=φ+-θ-(φ-+θ)=φ+-φ--2θ=

其中λ为实验室所用光源的光波波长，d为光栅常数．

图1 斜入射角度θ 较小时，光栅衍射示意图

当入射角θ比较大时，如图2所示，φ+和φ-都在光栅法线上侧，正负k级光谱对应的偏向角分别为φ+-θ和θ-φ-，则由斜入射光栅方程[3]

图2 斜入射角度θ 较大时，光栅衍射示意图

可得正负k级光谱对应的偏向角之差为

F2(θ)=φ+-θ-(θ-φ-)=φ++φ--2θ=

由上述讨论可知，对于任意入射角θ，正负k级光谱对应的偏向角之差为

值得注意的是，虽然上述讨论针对的是平行光斜向上入射到光栅面的情况，但是根据对称性对于平行光斜向下入射的情况也可得到相同的规律，只不过F(θ)表示的是负正k级光谱对应的偏向角之差．

图3 斜入射时，正负k级谱线的偏向角之差F(θ)随斜入射角度θ的变化，其中

3 误差分析

根据垂直入射时的光栅方程dsinφ=±kλ,通过测量正负k级光谱的衍射角φ，即可求出光栅常数d．如果平行光是以入射角θ斜入射到光栅上的，而实验中仍然使用垂直入射时的光栅方程求解光栅常数，那么结果为

(1)

图4分析了当平行光非垂直入射光栅时所导致的相对误差随正负k级光谱对应的偏向角之差F(θ)的关系．从图中可以看到，相对误差随F(θ)的增加而增大，对于相同的F(θ)值，由高级次光谱求得的光栅常数误差较小，而由较低级次光谱求得的误差较大．因此，从误差分析来看选取三级光谱调节测量时会比一级光谱效果要好．但是，在实际的教学过程中还要综合考虑测量精度要求和操作的难易程度来确定选取哪一级光谱进行调节测量．

图4 光栅常数的相对误差随正负k级谱线的偏向角之差的变化，其中

当选取一级光谱调节测量时，如果使正负一级光谱对应的偏向角之差F(θ)=2′，则由一级光谱得到的光栅常数相对误差约为0.017%．由此可以看出，此时光栅常数的测量误差已经非常小，完全可以忽略斜入射的影响，即认为平行光是垂直入射到光栅上的．当选取三级光谱调节测量时，如果要达到上述测量精度，那么需要调节光栅位置使正负三级光谱对应的偏向角之差达到21′．

如果对光栅常数的测量精度要求更高，那么就要要求正负级次光谱对应的偏向角之差更小．但是，对于一级光谱，当偏向角之差降到1′时，就达到了分光计的仪器误差范围，由正负一级光谱得到的光栅常数的相对误差约为0.004 2%已达最小，无法继续提高测量精度．而此时，对于三级光谱，达到相同的测量精度时，偏向角之差约为10′，还可以继续提高光栅常数的测量精度．所以，对于光栅常数测量精度要求非常高时，选取三级光谱调节测量更合适．但是，在物理实验教学中，测量精度的要求并不是很高，又考虑到选取三级光谱进行调节测量时光谱的强度较弱不容易被观察、光谱的级次较高不容易被确定等因素的影响，所以选取一级光谱调节测量更合适．总之，在测量精度允许的范围内，选取一级光谱进行调节会更加简便易行，利于学生掌握．

如果实验中要求光栅常数的测量相对误差小于0.5%，那么对正负一级光谱对应的偏向角之差的要求可以放宽到10′．以一级光谱作为研究对象，从图3可以看到F(θ)=10′时对应的斜入射角θ≈5°9′．在这种情况下斜入射角已经很大，眼睛就能观察出来，通常目测放置光栅使光栅面尽量与平行光管光轴垂直就能满足条件，所以光栅实验中测量精度要求不是很高时，是比较容易调到平行光垂直入射光栅的．另外，此处的讨论是基于钠黄光波长的，又由公式 (1) 可以看出随着光波波长的增加测量误差会更小，所以增加光源的光波波长是可以有效减小斜入射对光栅常数测量的影响的．

上述讨论中计算光栅常数的公式 (2) 是对由正负k级光谱的偏向角计算的光栅常数求平均得到的．实验教材中[1,2]通常强调为了提高精度使用的是公式

(2)

4 结束语

光栅衍射实验可以通过测量正负一级光谱的偏向角判断平行光是否垂直入射光栅，进而调节光栅位置以满足垂直入射到要求．具体调节技巧得到了理论上的证明．另外，通过分析斜入射对光栅常数测量造成的误差，发现部分实验教材中指出的调节光栅使正负一级光谱对应的偏向角不超过2′即认为达到垂直入射对精度的要求已经非常高了[1,2]．一般精度要求不是很高的情况下，可以把偏向角之差的要求放宽到10′，这在实验教学中既能让学生掌握思想和方法，又能节省操作时间，提高实验效率．当然，如果实验室光源的光波波长较短的话，正负一级光谱对应的偏向角之差还要要求更小一些．