让儿童与等号深度“遇见”

摘 要：“=”是小学数学中最重要的符号之一，等号意义包括运算意义和代数意义，对等号代数意义的理解是今后代数学习的基础。低年级是等号概念理解的重要时期，在低年级有意识地渗透等号蕴含的对称性思想，不仅可以培养学生的代数思维，也有利于发展学生的代数思想。为防止学生对等号意义产生片面理解，教师需要根据教学内容进行创生或适当改编一些教学素材，精心设计有针对性的练习等来帮助儿童突破从算术思维过渡到代数思维的障碍。

关键词：等号；儿童；代数思维；等价关系；平衡关系

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2018-06-28

作者简介：张红英（1970—），女，中小学一级教师，本科，研究方向：小学数学教学。

一、引言

小学一年级是儿童早期代数思维的启蒙阶段，代数思维是儿童数学思维不断发展的一个重要表征。特别是在新改版的北师大版数学一年级的教材中就已经有了不少的代数知识的逐步渗透，一些算术的内容也关联着代数思维的基本思想。卡彭特等人认为：“由算术思维转换到代数思维的标志之一是从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。”可见“=”在代数思维具有重要地位。然而很多教师并未认识到“=”的代数价值和内涵，缺少有机渗透和有效训练，如此不利于发展学生的代数思维能力。

北师大版一年级上册的一次测验中有一题：8+5=（）-2，有几个学生都填写了“13”这个错误的答案，同年级10个班级的错题率中，也是这道题的错误率最高，由此引发了我的思考。

二、错因分析

1.学生方面的因素

学生初次接触等号是在与大于号、小于号同时学习的情况下，用作比较两个数的大小关系，是作为一种关系引入的，最初是认识等号的关系性质。在后续运算学习的过程中，学生接触到的大多数都是具体运算，需要求出结果，运用等号来连接算式和得数，因此，学生把“=”简单地看作运算结果的输出符号，也就是因定式思维而习惯性地看到等号就以为是要计算出“8+5”的结果，而忽视了等号的代数意义（或者根本就没感受到等号的代数意义），从而导致错误。

2.教师方面的因素

因受长期的“算术”与“代数”人为割裂的影响，很多教师特别是长期执教第一学段的教师对儿童早期代数思想的渗透还比较陌生，也可能是对教材缺乏深入研读，也可能是教师自身素养的缺失，在一年级渗透儿童早期代数思维显然还不是深入师心的教学理念。虽然教材中“=”最初是作为关系引入的，但没有深度挖掘“=”背后隐藏的重要代数思想，缺乏相应的深度体验的练习，在后续的运算等教学中，对等号的代数含义也缺少渗透和训练，所以造成学生对“=”所表达的数量之间等价关系的重要价值难以理解，思维方式也会逐渐固化，机械地认为“=”是用来表示算式的结果。

三、改进措施

虽然学生早就知道等号，但他们对等号的理解往往是狭隘的，大部分学生认为“=”是用来表示算式的结果。

1.比较两数关系中，凸显等号的等价关系

学生初次接触等号是在一年级上册比较两个数的大小关系中，教材以实物比较来同时学习大于号、小于号，但教材中对等号的练习较少而关注大于、小于的练习较多，不利于学生对等号意义的理解。我们可以补充如下练习。教师出示三幅实物图先问：“哪副图表示的两个数可以用等号表示？哪副图中的两个数不可以用‘=表示？为什么？怎样就可以用等号表示了？”也可以在比多比少的练习题完成后追问：“怎样变化就可以用等号连接了？”

学生通过“一一对应”可以抽象出谁和谁一样多，学生在直观的感知中可以明确地感受到：左边的数量和右边的数量一样时才可以用等号连接，等号是表示两边的数同样多。初步感受“=”的等价关系。

2.加减法的初步认识中，凸显等号的本质含义

在一年级上册的教材中，继比较两数关系之后是加减法的认识，教师在教学时可以通过改编或丰富情境图来渗透等号的本质含义。如在“加法的认识”中，教材例题：笑笑一只手拿3支铅笔，另一只手拿2支铅笔，问一共有几支铅笔？这个例子可以很好地体现加法的意义——合并，但从等号意义教学的角度来说，这个例题不利于学生对“=”的本质含义的理解。我们可以对例题作如下改编：“笑笑一只手中的3支铅笔，老师手里拿5支铅笔，谁的铅笔多？”再出示笑笑另一只手又拿来2支铅笔，引导学生观察情境图后问：“现在呢？”

学生通过已有知识可以抽象出谁比谁多，学生在直观的感知中可以明确地感受到：笑笑两只手中的铅笔合并在一起就是5支，跟老师手中的5支铅笔同样多。这样可以很好地向学生解释“3+2=5”，从而抽象出“+”和“=”的意义，加号表示两个数合并起来，等号表示两边的数量相等。

3.构建不同等式，凸显等号的对称性

由于学生接触到的大多数是数的具体运算，需要求出结果，因而对“=”承担的等价关系的重要价值难以理解。所以，学生对等号的认识在适当的时候要寻求突破，积极主动地构建多样化、不同结构的等式，有助于学生进一步理解等号的内涵与意义。例如，除了学生填写常见算式6+7=□，还要精心设计一些练习。

（1）已知计算结果的等式。形如5+□=12、□+7=11、13-□=8等，打破总是用左边两个数计算出右边得数的思维定式。

（2）结果在左的等式。形如10= □+□、15=□+□+□、7=□-□等。可以帮助学生打破算式总在左边，结果一定在右边的观念。从算术的角度可理解为数的分解，从代数的角度可理解为数与式等值，这有助于学生对等号含义的进一步理解，是学生代数思维的最初启蒙。

（3）式与式的等式。一个算式与另一个算式的结果等值，这就组成了式与式的等式结构，形如4+□=5+ □、9-□=8-□、6+9=□+□等，让学生感受到等号两边的式之间的平等和对称关系。

4.从变化入手分析，凸显等号的平衡性

教师在练习中应多引导学生思考等号两边式子的相等特征，从而感受一种类似于天平的平衡关系。如6+9=□+□这个等式中，从一个加数6中减去1，则另一个加数9就得加上1，才能维持等式两边平衡，即6+9=5+10。又如，不计算让学生比大小，8+13○13+8、16-7○15-6等。随着学习的深入，可以进一步拓展，比如□-15=□-14、14-6-2=14-□、□+□=□+□等。随着知识面的不断拓宽，该类题拓展的空间也是越来越多。当然，这种感受对学生来说，并不需要十分深刻，但经过教师不断点拨引导，可以促使学生对此不断积累体悟，如此不断循环，思维层层内化，在数的运算中尽早接触平衡与相等关系的代数核心思想，学生对等号意义的理解就更加全面、深入，使算术走向代数的过渡更为自然和顺畅。

四、结语

在直观思维方式的低年级儿童中渗透代数思维，是对所有教师的挑战，需要教师深入思考教材背后隐藏的代数思想，善于去探索和把握时机。丰富低段学生等号代数意义，从而促进低段学生代数思维的萌发。让“数与代数”真正一路携手同行，为以后转换到代数的学习做好准备。

参考文献：

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