追本溯源，稳固根基

曲婷

都说高考题源于课本，因此，数学学习要立足课本而活于课本，那么，怎样才能做到这一点呢？这里，我们就通过平面向量的学习来感受一下课本这一源头之水的妙处，

一、追本

1.解法

思路1

线性运算，本题中，第（l）题数量积运算所需条件充足，只需要注意向量夹角的方向；第（2）题，是高考常见题型，需要利用平面向量基本定理，将目标向量转化为已知夹角、长度的（可以做为基底）的向量.

思路2

坐标运算，本题中的条件有些特殊性，根据3，4，5的长度，我们可以确定这个三角形是一个直角三角形，可以借助这个垂直的有利条件，建立平面直角坐标系.这样的益处是，所有的点的坐标都是已知的，容易确定各向量的坐标.

2.评析

思路1

线性运算的本质是将未知向量用已知向量线性表示，将未知化为已知，将不熟悉的化為熟悉的向量，这种方法，要求我们对于图形特点非常熟悉，能够清楚地弄懂各个向量的位置关系，从而利用加法、减法法则来进行未知向量的转化.

思路2 坐标运算，图形的特殊性恰为解题的优越性，这里，因为垂直这个特殊的位置关系，有利于建立直角坐标系，将所有的点的位置唯一确定，这样一来，只需要点的坐标就可以计算出所需向量的坐标，再根据坐标运算的公式来进行求解.

显然，对于此题，坐标运算更加简单，但并不是所有的问题都能轻易用坐标来解决的，比如一些斜三角形，即使建立了直角坐标系，各点坐标也未必能够简单地表示出来，那么建立直角坐标系的方法便没了优势.因此，我们有必要根据已知条件，合理选择方法.

二、溯源

通过以上分析，我们不难发现，平面向量问题的处理，最常见的，无外乎两种方法：一种就是线性运算，常见的就是基底转换，将目标用已知关系、已知长度的向量，利用三角形法则、平行四边形法则进行表示，从而达到解题的目的；另一方法就是坐标运算，常见有垂直关系的图形，也有一些非垂直关系的特殊对称图形，通过建立直角坐标系，利用坐标的代数运算快速解题.

其实，无论是线性运算还是坐标运算，其本质都是一种基底转换的思想，即将未知所求向量向已知向量关系进行转化.

三、感受高考

思路2

已知等边三角形，常以一条高所在直线为y轴，但本题已知条件都是以点C为起点，故将点C做为原点比较好.

通过以上课本习题和高考题的联系与比较，我们不难发现，其实这类问题都是利用平面向量基本定理进行转化，将不熟悉的、未知的问题转化为熟悉的、已知的条件进行求解.

思路1就是寻找恰当的一组基底（可能是已知其长度和二者的夹角，或者是已知二者的数量积，或其他相关条件等），其他向量均用它们来表示，然后代人计算；思路2就是选择恰当的直角坐标系，设适当的点坐标（如注意到中点、三等分点等），将向量用坐标表示，最终将问题归结为代数运算.

高考题源于课本，因此，我们需要重视课本，踏踏实实地做好课本习题，仔细斟酌其内涵，才能在高考中有的放矢，成功解题.