向量，解决问题的多面手

袁长林

什么样的题目可以用向量解决？——向量融数、形于一体的“双重身份”，使其廣泛应用于函数不等式、解析几何、立体几何等知识.我们利用向量这个工具，可以简洁地解决数学中的许多问题，甚至物理中的一些问题.

一、解三角函数问题

平面向量与三角函数知识最容易联系起来，特别是平面向量的加减运算、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念和运算，与三角函数的有关运算公式、三角函数图象的性质有较强的联系.

解析 本题可使用向量运算来处理.

分析 考虑到条件中的这三个角是π的七分之几的关系，引入正七边形，建立向量的几何运算来处理.

解 如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，且OA→=（1，0），

二、解平面几何问题

平面几何中很多涉及长度、角度以及一些位置关系的问题都可以借助于“向量法”来解决.“向量法”的核心是借助于向量工具做有关运算，运算常常是代数方面的加减法、数乘、共线定理及坐标运算等.

例3 求证：直径所对的圆周角为直角.

三、解物理问题

向量本身有着丰富的物理背景，有着精准的数学定义和运算，因此解决物理等学科中的问题也是很多的.

如，利用平行四边形法则可以解决物理学中求合力的问题，一个拉紧的弓箭，受到两个方向的力f₁，f₂，最终形成合力f，使箭向靶心飞行，尝试解决以下问题：

（l）用平行四边形法则作出弓箭所受两个方向力f₁，f₂的合力f的示意图；

（2）如果力f₁，f₂的大小为100N，它们的夹角为90°，它们的合力f的大小是多少？

又如，帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，帆船的最大动力来源是“伯努利效应”，如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°，以速度20km/h行驶，而此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.

研究向量在物理学中的应用时，用的是数学模型方法，就是把物理问题用数学语言加以抽象概括，再从数学角度来反映物理问题，得出关于物理问题的数学关系式，从而建立了相应的数学模型，它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系，得出物理问题的解答.

本文仅是抛砖引玉，向量的威力很大，在我们学过的许多数学知识里都有应用，有兴趣的同学可以阅读本期的其他文章，相信还会有更多的收获.