数学定理发现学习的类型分析①

王富英 吴立宝 黄祥勇

( 1.成都市龙泉驿区教育科学研究院 610100；2.天津师范大学教师教育学院 300387； 3.成都市教育科学研究院 610031)

德国教育家第斯多惠说：“一个好的教师应该教人去发现真理.”美籍匈牙利数学家波利亚在《数学的发现》中指出：“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”[1].可以看出发现学习是个人获得真知的主要途径[2].在数学定理的学习过程中，发现学习是一个重要的数学学习方式.发现的过程是一个知觉的过程，布鲁纳认为，知觉的过程是一种类型化的过程.这种类型化是以一个人从观察到的线索到认出物体的种类所作出推理上的飞跃为基础的.认知过程的基本操作是对外部事物的类型化和概括化[3].

在数学定理发现学习的过程中，正确区分数学定理发现学习的类型不仅是研究数学定理发现学习的需要，而且也是研究数学定理发现学习本身的认知过程.因此，定理发现学习的类型分析对于提高定理发现学习的质量和效率十分重要.

1 数学定理发现学习的概念、类型及结构

1.1 数学定理发现学习的概念

发现学习又叫探究学习、研究性学习.它是指通过学习者自己独立思考去发现知识的学习过程.在这个过程中，学习者自己提出问题并寻求问题的答案.最早明确提出探究学习的是美国教育家杜威.杜威是从思维与经验的角度对探究的特征和思维过程进行了研究，提出了著名的经验与思维的五个步骤.这实际上就是探究学习最早的操作程序，到现在还被人们广泛沿用.虽然杜威最早提出探究学习，但明确提出并研究发现学习且被大规模应用到教育实践中的则是美国教育家布鲁纳.在20世纪50年代末60年代初的美国课程改革中，布鲁纳提出的结构主义课程和发现学习成为了主要的理论支撑.发现学习也就成为了布鲁纳认知发现学习理论的主要内容．布鲁纳认为，发现学习能够激发内在动机、促进发现策略的习得与发展、促进对知识更加牢固的掌握.[4]

由于数学定理是中学数学的主干知识，是进行数学推理和论证的重要依据.因此，在数学定理的学习过程中，根据发现学习的特点和功能，教师有目的地引导学生去探究、发现数学定理，不但能使学生深刻理解数学定理，更有效地提高学生探索发现的能力，而且也是有效形成学生“数学抽象”、“数学推理”与“直观想象”等数学学科核心素养的重要途径.

国内很多学者在数学学习中把发现学习作为一种重要的探究学习方式进行了很多研究.但在数学定理学习中的发现学习还没有一个确切的定义.我们根据发现学习的特征和数学定理学习的特征对数学定理发现学习的概念给出以下界定：数学定理发现学习是指学生在教师的启发引导下，对教师提供的一些研究、探讨的素材与问题，通过阅读、思考、观察、实验、分析、比较、抽象、概括、归纳、类比等步骤和方法获得数学定理的学习过程.

值得指出的是，这里的数学定理发现学习是指学校里学生在教师的指导下的发现学习，而不是一般的发现学习.而且这里的发现并不限于发现人类已发现的数学定理，而是指学生在教师的指导下通过独立地阅读书籍或文献资料，经过独立思考而获得对于学习者来说是新知识的过程.正如布鲁纳指出的：“我认为，发现不限于那种寻求人类尚未知晓之事物的行为.正确的说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式”.[5]

1.2 数学定理发现学习的类型及结构

数学定理学习属于数学命题学习的范畴.奥苏贝尔根据命题之间的关系把命题学习分为上位学习、下位学习和并列学习三种类型.根据奥苏贝尔关于命题学习的分类，我们把数学定理发现学习分为类属发现学习、形成发现学习和类比发现学习三种类型，其中类属发现又可分为派生类属发现和相关类属发现；形成发现又可分为观察实验发现和归纳概括发现，而归纳概括发现又可分为完全归纳发现和不完全归纳发现两种类型.

数学教育的目的除了让学生掌握系统的数学知识外，最主要的目的是提高学生的数学学科核心素养和数学文化修养，形成和发展学生的数学思维品质，最终实现学会学习的目标. 由发现学习的特征和功能可知，数学定理发现学习重在发现过程，重在引导学生积极主动，使得学生明确数学定理的来龙去脉，知之从哪里来到哪里去.在这个主动发现过程中，离不开数学的抽象、推理和直观想象，这有利于数学学科核心素养“数学抽象”、“逻辑推理”和“直观想象”的形成和发展.因此，我们把数学的这三个核心素养作为定理发现学习的主要学习目标.

基于此，数学定理发现学习的理论基础是奥苏贝尔关于命题学习的分类理论，瞄准的目标是数学的三个学科核心素养.因此，命题学习分类、发现学习类型和三个学科核心素养一起构成了数学定理发现学习的结构系统，如下图1所示.

图1 数学定理发现学习的结构系统

2 数学定理发现学习的类型分析

2.1 定理的类属发现

定理的类属发现是指新学习的定理与学习者认知结构中原有的定理之间具有类属关系，根据这种类属关系而获得新定理的过程.定理的类属发现具有两种形式：派生类属发现和相关类属发现.定理的派生类属发现是指新学习的定理直接从原有认知结构中具有较高包容性和概括性的定理中推演出来，或者隐含在其中，也就是说新定理是由已有定理直接派生出来的.数学中定理的推论都属于派生类属发现.例如“矩形的对角线互相平分”这一定理是包摄面较广的定理“平行四边形的对角线互相平分”的一个类属.派生类属发现是利用居于上位的一般化知识特殊化后而获得的下位知识，即由一般到特殊.所以，定理的类属发现学习实际上是一种演绎推理的方法.因此，也可把定理的派生类属发现称为“演绎发现”.

定理的相关类属发现是指新学习的定理属于原有较高概括性定理，将原有定理进行扩展、精确化、限制或修饰而获得新定理的过程.例如，菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”就是对原有较高概括性的平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”中对角线加了“互相垂直”的限制而获得，这时该定理的发现就属于相关类属发现.

2.2 定理的形成发现

数学定理的形成发现是指学习者通过考察命题的特例，基于特例，然后运用观察、实验、分析、比较、归纳、概括等方法而获得数学定理的过程．定理形成发现的学习方式是发现学习，学习的心理过程是以辨认、分化、猜想、验证、抽象、归纳、概括等为主的一系列认知加工过程.定理形成发现主要有观察实验发现和归纳概括发现两种.

2.2.1 观察实验发现定理

观察是一种有计划、有目的的特殊形态的知觉，是按照客观事物本身存在的自然状态，在自然条件下去研究和确定事物的特征和联系[6].从现象学的角度说，观察就是“回到事实本身”，是从不同的角度去认识事实，从而揭示事物的本质特征.实践表明，决定观察质量的前提条件是要明确观察的目的和任务，并在观察的过程中联系已有知识进行分析、判断与猜想.例如，在学习球的体积公式时，教师首先要让学生明确观察的目的和任务：探究获取球的体积公式，接着先让学生观察等底、等高的圆柱体、半球和圆锥.学生通过观察可发现：圆柱的体积>半球的体积>圆锥的体积，而由已知圆柱体的体积公式和圆锥的体积公式，可以发现(猜想)半球的体积公式，从而得出球的体积公式.又如，在学习“平面与平面平行的判定定理”时，让学生观察长方体模型AC′．平面ABCD内两条相交对角线AC，BD分别与平面A′B′C′-D′内两条相交对角线A′C′，B′D′平行，根据直线与平面平行的判定定理可知．相交直线AC，BD与平面A′B′C′D′平行，此时，平面ABCD与平面A′B′C′D′平行.再设想更一般的情况：若一个平面内的相交二直线平行于另一个平面，而“相交直线确定一个平面”，从而联系前面的模型通过猜想可发现定理：若平面内有两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行.

实验是所研究对象的需要，根据研究对象(现象)的自然状态和发展，人为地创设条件，人为的将它们分成若干部分，并同其它事物(现象)联系起来，以深入了解所研究对象(现象)的自然状态和发展情况[7].大数学家欧拉说，数学这门科学需要观察，也需要实验.实验是科学研究的基本方法之一，数学也不例外.数学实验教学就是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得对知识的形成与理解或解决问题的一种教学过程.

图2

观察实验发现是指对所研究的对象在实验的基础上去观察研究对象的各种情况，并同其它事物联系起来确定事物的特征和联系.实践表明，观察实验发现与教师的设计和安排密切相关.因此，在利用观察实验发现定理时，教师要为学生提供或者指导学生准备足够的实验材料，并明确观察实验研究的目的和任务.如，在学习探究“直线与平面垂直的判定定理”时，教师可以进行以下实验设计.请学生准备如图2所示的三角形纸片，并作如下操作：过△ABC的顶点A沿AD翻折后竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的关系，并提出思考问题：如何翻折才能使折痕与桌面所在平面α垂直？通过再次实验容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，折痕所在的直线与桌面所在的平面α才垂直(图3，图4)．在此基础上可发现直线与平面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内相交二直线，则该直线与平面垂直.

图3

图4

2.2.2 归纳概括发现定理

归纳是从一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法[8].归纳发现是从特殊到一般的思维方法.

归纳发现可分为完全归纳发现和不完全归纳发现两种.完全归纳发现是将事物分成几种独立的类型，然后考察每种类型都具有某一共同的属性，从而归纳概括获得一般性结论的定理.例如，正弦定理的获得是先将三角形分成直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种独立的类型.再分别考察这三类都有“各边和它所对角的正弦的比相等”这一共同属性后通过归纳概括获得定理：“在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.”由于这里是在穷尽考察了三角形的所有类型后通过归纳概括而获得的定理，因此，这里的发现就是完全归纳发现.

不完全归纳发现，是指在研究事物的规律时，往往不能把要研究的对象按它的一切情形考察完毕，于是不得不通过对其中一部分或者若干个别情况的考察，再通过归纳猜想得出一般结论的方法.不完全归纳发现是数学发现与创新的一种重要方法，数学中的许多定理、公式、猜想都是用不完全归纳发现的，如著名的费马大定理、欧拉公式、哥德巴赫猜想等.因此，数学家拉普拉斯指出：“在数学里发现真理的主要工具也是归纳与类比”[9]．同时，归纳发现不仅是数学研究的重要方法，也是学生数学探究学习的重要方法.

值得指出的是，完全归纳发现定理时由于穷尽了考察对象的所有情况，因此得出的结论一般都是确定无疑的，容易被学习者接受，而用不完全归纳获得的结论不一定正确，还需要进行逻辑证明予以确定.

2.3 定理的类比发现

类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或者相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处而作出某种判断的推理方法[10].定理的类比发现是指在新学习的定理与学习者原认知结构中的有关定理具有相似和相同之处，通过比较分析找出相同或相似之处后猜测其它方面也有相似或相同之处而获得定理的过程.类比发现与归纳发现、演绎发现均具有不同的特点，归纳发现是从特殊到一般，演绎发现是从一般到特殊，而类比发现则是从特殊到特殊或者一般到一般的推理.与归纳发现相比，类比发现需要更丰富的知识和想象力，包含更多的直觉成分，有利于“直观想象”素养的培养[11].类比发现的关键是寻找合适的类比对象，并确定它们之间的相同或相似的属性.在数学里，类比发现也是一种发现定理的主要工具．而且数学中的许多定理都是用类比发现获得的．例如，立体几何的许多定理可类比平面几何的定理得出；在数与式之间、一维与多维之间、低次与高次之间、相等与不等之间、有限与无限之间通过类比获得了许多相互类似的定理和运算法则.

值得注意的是，在教师教学和学生学习中，类比既是发现定理和创新的重要方法，也是学习数学知识的有效方法，还是培养学生的探索创新能力与数学推理能力、数学抽象能力等数学学科核心素养的重要方法[12].