泰勒公式在高等数学解题中的应用举例

远巧针 三门峡职业技术学院 公共教学部

泰勒公式主要是指以函数的形式描述某点信息及其附近取值的数学公式，若函数足够平滑，则在函数已知及其某点导数各阶数值已知情况下，运用泰勒公式可以将各阶数值作为系数建立多项式，在此多项式加持下得到某点近似函数邻域值，除得出函数值外，运用泰勒公式还能得出实际函数值与多项式之间的偏差。泰勒公式于1712年由布鲁克 泰勒（英国数学家）提出，当前该公式作为高等数学重要教学内容之一，可以提升学生数学素养，激活学生数学思维，充分发挥数学教学实践能效，达到提高高等学校育人综合质量的目的。基于此，为落实泰勒公式教学目标，教师应立足新课改背景，采用应用举例教学法，探析泰勒公式在高等数学解题中的教学方略显得尤为重要。

1. 泰勒公式在高等数学解题中的应用举例教学要点

1.1 学生。泰勒公式若想在应用举例教学法加持下得以被学生所理解，需教师从学生视角出发，依据学生理解能力、社会阅历、实践经验、学习兴趣等个性化学习因素，编设学生可以接受的应用举例教学方案，确保学生在相关案例指引下可以独立思考、自主学习、分析运算，将自己的思想与泰勒公式交织在一起，为学生深入理解该公式，有效落实高等数学教学目标奠定基础。

1.2 教材。教材是教师教学实践行为的出发点与归属点，为此教师需深入分析教材，在充分掌握泰勒公式内涵基础上，将相关知识渗透在应用举例内容中，以应用举例教学法为桥梁，拉近学生与泰勒公式及相关数学知识的距离，引导学生进入高等数学知识的世界，削减高等数学教学阻力，提高高等数学教学质量，达到有效落实泰勒公式教学目标的目的。

1.3 课标。新时代课程标准随之发生变化，依据教学大纲完成教学任务的单一化课程标准悄然推出历史舞台，取而代之的是培养学生核心素养为导向的课程标准，这就需要教师在利用应用举例教学法讲述泰勒公式及相关数学知识同时，还需培养学生核心素养，如独立思考能力、运算能力、建模能力、逻辑推理能力、分析理解等能力，使学生在高等数学讲堂上有更多收获，继而有效提高高等数学教学质量，充分发挥应用举例教学法育人能效。

2. 泰勒公式在高等数学解题中的应用举例教学原则

2.1 以人为本。泰勒公式作为求解高阶导数某点数值，针对某点数值判断函数极限及相关运算的数学知识，对于学生群体来讲有一定学习难度，既要求学生掌握一定的数学基础知识，如极限、函数等，还需学生掌握一定的数学素养，如运算、逻辑推理、判断能力等，徒增学生泰勒公式学习及相关数学知识学习难度，为此教师在应用举例教学过程中需秉持以人为本理念，从学生数学综合学习实况出发，列举学生可以通过自主思考与运算有效解决的数学案例，避免出现“应用举例有余，教学引导不足”消极现象，旨在发挥应用举例引导教学能效，使学生得以积极参与到泰勒公式学习活动中，在掌握该公式及相关数学知识同时，达到培养学生数学核心素养的教育目的。

2.2 创新争优。为避免教师陷入“模式论”、“经验论”教学误区，教师需秉持创新争优原则，在累积应用举例教学经验基础上，积极整合新型教学手段，充分运用现有教学资源，创新应用举例教学模式，为更好渗透泰勒公式及相关数学知识奠定基础，这就需要教师不断学习创新型教学手段，依据学生数学知识学习实况及泰勒公式应用情况，灵活调整教学手段，为数学讲堂注入无尽动力，继而推动高等数学教育事业良性发展。

2.3 反思自省。为有效落实泰勒公式教育目标，发挥应用举例教学法育人能效，教师需秉持反思自省原则，不断反观自身泰勒公式教学历程，通过分析学生泰勒公式相关应用案例解析成效，明晰自身泰勒公式教学要点、弱点、难点及重点，以此为由持续完善泰勒公式应用举例教学体系，在落实高等数学教学目标同时，达到培养学生核心素养的教育目的。

3. 泰勒公式在高等数学解题中的应用举例教学方略

3.1 明确应用举例教学目标。教师需率先整合与泰勒公式教学相关教育资源，明确泰勒公式在高等数学解题中应用举例教学目标，围绕该目标制定教案，确保教师可以顺利完成数学教学任务。

3.2 规设泰勒公式应用举例层级。为突出学生数学教学主体地位，满足学生个性化学习诉求，引导学生自主学习，教师需在因材施教教育理念加持下，规设泰勒公式应用举例层级，为打造系统性、多元性、生本性数学教学体系奠定基础。

3.3 做好及时评价工作。虽然应用举例教学主体是学生，但教师仍需以“引导者”身份参与到高等数学教学实践进程中，帮助学生解决学习困难，助其深入掌握泰勒公式及相关数学知识，为此教师需在应用案例教学过程中，用过程性评价代替结果性评价，使学生明确自主学习方向，助其树立数学学习自信心，引导学生攻克泰勒公式学习难关，使应用举例教学目标得以有效落实。

4. 分析几例泰勒公式在高等数学解题中的应用实例

若在点x0上的函数f（x）某开区间有n+1阶导数，其中该 开 区 间 为（a，b），则 任 意 x ∈（a，b），f（x）=f（x0）（x-x0）+f''(x0)/2！(x-x0)2+...+f(n)(x0)/n(x-x0)n+f(n+1)(ζ）/（n+1）！（x+x0）n-1,在该公式中ζ属于x0--x间某个值，此为泰勒公式，在明晰泰勒公式表现形式基础上，运用应用举例教学法，引导学生学习相关数学知识，旨在通过对几例泰勒公式应用实例进行分析，落实高等数学教学目标。

4.1 极限应用举例。在高等数学知识中，极限知识既常见又很重要，作为学生学习数学知识的重要工具，若其在求解过程中选择的运算方式不佳，将徒增求解难度，增加其运算量，影响运算精准度，为此教师可以引导学生利用泰勒公式解答极限问题。如题： ex2-1-x2cosx/sinx4求解其极限。基于该算是分母为sinx4-x4（x→0），教师在引导学生解答该问题时，只需将x2cosx与ex2带入麦克劳林公式（四阶）中，表示为ex2=1+x2+x4/2+0(x4),经计算求得 ex2-1-x2cosx/sinx4= x4+0(x4)/x4=1，此类函数极限问题运用泰勒公式予以解答，可以有效简化解答步骤，降低解题难度，相较于洛必达法，此种计算方法简单程度可见一斑。学生在解答该问题时，容易在公式套用时产生疑惑，为此教师需在应用举例教学前，采用概念图教学法，引导学生以极限为核心，建立数学知识网络，将与极限相关数学知识纳入其中，为将极限知识与泰勒公式关联在一起奠定基础，继而引导学生自主完成实例论证学习任务。

4.2 求近似值。在许多专业中均涉及到近似计算知识，掌握近似计算技能，可以帮助学生更好开展学习与生活实践活动，为此教师可以将“求近似值”设为应用举例核心，以此为由设计如下问题：ex=1+x2/2！+...xn/n！+eθx/(n+1)！xn+1(0 ＜θ＜ 1)，在 x=1 情况下，e=1+1+1/2！+...+1/n！+eθ/(n+1)！，Rn(x)=eθ/(n+1)！ ＜ 3/(n+1)！＜0.001。在n=6时此算式成立,继而得出运算结果，若学生遇到存在连续性的导数函数，则可以运用泰勒公式予以解答，提高学生运算效率及精准度。

4.3 证明不等式。在高等数学教学内容中，不等式证明相关知识的讲解与渗透，可以有效培养学生逻辑推理能力、运算能力，使学生数学思维更为严谨，思考及解决问题的能力得以有效提高，同时证明多阶性导函数亦可以运用泰勒公式予以解答。这就需要学生需率先掌握证明方法，可以有效分析不等式，为有效运用泰勒公式解决相关数学问题奠定基础。如题：在[0,1]上设f(x)有二阶连续导数，该导数为 f(1)=0，在 x∈（0,1）时，则有 |f''（x）|≤2，尝试证明|f'（x）|≤1。证明过程如下：基于 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(θ)/2！(x-x0)2,且θ在x与x0范围内，在x取值为0，x0取值为x时，则所得泰勒 公 式 为：f(0)=f(x)+f'(x)(0-X)+f''(θ1）/2！(0-x)2（1）。当θ1在0与x范围内，且x取值为1，x0取值为x时，运用泰勒公式可得到如下算式：f(1)=f(x)+f'(x)(1-X)+f''(θ2）/2！(1-x)2（2），在该算式中θ2处于x到1之间，基于（1）、（2）可知，f'(x)=f(1)-f(0)+1/2！[f''(θ1)x2-f(θ2）（1-x）2]=1/2 ！[f''(θ1）x2-f''(θ2)(1-x)2]，|f'(x)|≤|f''(x)|/2！[x2+(1-x)2]=2x2-2x+1，基于 0≤x≤1情况下，2x2-2x+1≤1，则|f'(x)|≤1，至此证明完成。通过对该应用举例进行解析可知，在不等式解答过程中运用泰勒公式，可以降低解答难度，提高证明效率，简化证明过程，为提高学生证明过程中泰勒公式应用能力，教师可以将证明问题编设主导权交给学生，继而激活学生数学思维，赋予学生反推、论证、创新及严谨的数学思维等数学能力，同时凸显学生高等数学教学主体地位，在落实应用举例教学目标同时，达到培养学生数学核心素养的教育目的。

结束语：综上所述，为提高泰勒公式及相关数学知识讲解质量，教师在新课改背景下，积极采用应用举例教学法，旨在有效落实高等数学教学目标，引导学生有效应用相关知识解决实际问题，并在完成高等数学教学任务同时培养学生数学核心素养。