方程思想在初中几何中的应用

林锐利

（西安交大阳光中学，陕西 西安）

方程思想是初中代数中一种非常重要的解题方法，它是从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过设未知数来建立方程或方程组，再通过解方程或方程组来解决问题的一种思维方式。利用方程思想来解决问题的关键是建立方程模型。而在初中几何部分知识所涉及的一些线段与角的求解中，基本都具备方程的特性，若能根据题意及图形之间的关系找出其中蕴含的等量关系，建立方程（组），把几何问题转化为代数问题，则会使思路更加清晰，解决过程更加简便，达到把几何问题简单化的目的。

一、用方程思想求解线段长

在某些几何题目中，已知条件有的较为复杂，让很多学生理不清要求解的线段与已知之间的关系而无从下手。如若能根据线段之间的等量关系建立方程模型，把几何问题转化成方程来求解，往往会达到意想不到的解决效果。

例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BAD=∠C，点 D 在BC边上.以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）已知 AB＝6，AC=8，求 AF 的长。

分析：对于第（2）问，连接 DF，

利用相似三角形对应边相等来求解线段长，是相似三角形知识的一个常见应用，也是中考23题一个常考的考点，利用相似的比例，把几何问题转化为方程求解线段长，这种题目对考生来说，有一定的难度，但是学生如果能够掌握解题方法，能从图形中抽取出相似三角形的模型，根据比例关系转化为方程模型，问题就会迎刃而解。

二、用方程思想求解角度

例 2.在△ABC 中，∠A+∠B=100°，∠C=2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数。

分析：此题要求解三角形三个内角的度数，我们可以根据三角形内角和来寻求等量关系。设∠B=x，则∠C=2x，∠A=100°-x，由三角形内角和定理可列方程：100°-x+x+2x=180°，x=40°，因此，∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°。

例3.一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求这个正多边形的每一个内角等于多少度？

分析：设正多边形边数为 n，根据题意得：（n-2）×180°=720°，解得 n=6，将n代入即可求出每个内角度数为120°。

利用三角形内角和、多边形内外角和及余补角性质等求角度，也是一个常考的考点，关键之处还在于根据题意，将几何问题转化为方程问题进行求解。

三、用方程思想求解有关动点问题

动点问题是中考的热点、难点问题，一般的解决思路是动中求静，先假设运动到某时刻结论成立，从结论出发逆向推理，得到符合条件的数量关系，建立方程，即可求出变量的值，再对所求的值进行检验和取舍。在这种解决问题的过程中，应用方程思想仍是突破难点的关键。

例4.如图，已知数轴上点A表示的数是8，点B是数轴上的一点，且AB=14。

动点P从A出发，以每秒5个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，运动时间为t秒（t＞0）。（1）写出数轴上点B表示的数___，AP=___。（2）动点Q从B出发向左以每秒3个单位长度向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求点P运动多长时间追上点Q？

分析：此题第（2）问是一个比较简单的动点问题，我们可以假设在C点时，点P追上点Q，如图所示，

则此时满足AC-BC=AB，根据这个等量关系可列出方程：5x-3x=14，解得：x=7，所以点P运动7秒时追上点Q。

由以上几个简单例子我们可以看出，在解决几何相关问题的过程中，方程能够帮助我们清晰地反映题目中的数量关系，使问题得到简化。因此，我们在日常的教学中，一定要对学生强化方程思想的认识，通过典型例题引导学生掌握方程思想的精髓，从而提高学生分析问题及解决问题的能力。